Question

Resolva no conjunto dos números reais a equação sen (2x) = 1-cos (2x).

Answer 1

Resposta:

$\textsf{Leia abaixo}$

Explicação passo a passo:

$\mathsf{sen\:2x = 1 - cos\:2x}$

$\mathsf{2\:.\:sen\:x\:.\:cos\:x = 1 - (1 - 2\:.\:sen^2\:x)}$

$\mathsf{2\:.\:sen\:x\:.\:cos\:x = 2\:.\:sen^2\:x}$

$\mathsf{cos\:x = sen\:x}$

$\boxed{\boxed{\mathsf{S = \left\{x \in \mathbb{R}~|~x = \tfrac{\pi}{4}+k.\pi,~k\in\mathbb{Z}\right \}}}}$

Answer 2

A solução dessa equação é dada por {x ∈ R / x = π/4 + k·π, k ∈ Z}.

Funções trigonométricas

As funções trigonométricas são obtidas a partir do circulo trigonométrico e são periódicas. As principais funções são:

• seno: y = sen x; período = 2π; imagem = [-1, 1];

• cosseno: y = cos x; período = 2π; imagem = [-1, 1];

• tangente: y = tan x; período = π; imagem = ]-∞, +∞[;

Para resolver a equação, precisamos das seguintes igualdades:

sen 2x = 2·sen x · cos x

cos 2x = 1 - 2·sen² x

Substituindo, temos:

2·sen x · cos x = 1 - (1 - 2·sen² x)

2·sen x · cos x = 2·sen² x

cos x = sen x

Do círculo trigonométrico, sabemos que cos x = sen x quando x = π/4 e 5π/4, logo, o período em que essa igualdade ocorre é:

5π/4 - π/4 = π

O conjunto solução dessa equação será:

S = {x ∈ R / x = π/4 + k·π, k ∈ Z}

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