Question

resolva no conjunto de números complexos a equação polinomial x³-2x²+2x+a=0, na variável, sabendo que o número 1 é uma de suas raízes

Answer 1

Como 1 é raiz, podemos aplicar o teorema da decomposição (ou Briot-Ruffini, como desejar):

$p(1)=1^3-2\cdot 1^2+2\cdot1+a=0\Leftrightarrow a=-1$.

$p(x)=x^3-2x^2+2x-1=x^3-x^2-x^2+x+x-1=x^2(x-1)-x(x-1)+(x-1)=$

$(x-1)(x^2-x+1)=0$.

$x\neq 1\Rightarrow x^2-x+1=0$. Por Bhaskara, descobrimos:

$x_1=\frac{1 + i\sqrt{3}}{2}$

$x_2=\frac{1 - i\sqrt{3}}{2}$

$x_3=1$.