Question

Resolva, faça o gráfico e dê a solução da inequação-quociente:

a) $\frac{ x^{2} +2x}{ x^{2} +5x+6} \geq 0$

Answer 1

Vamos lá.

Aqui temos uma inequação-quociente, cujo resultado deverá ser MAIOR ou IGUAL a zero, ou seja, temos:

(x²+2x)/(x²+5x+6) ≥ 0

Veja: que temos f(x) = x²+2x e temos g(x) = x²+5x+6, com f(x) dividindo g(x) e cujo resultado deverá ser MAIOR ou IGUAL a zero.
Vamos encontrar as raízes de cada uma das equações acima, a exemplo do que já fizemos em uma outra questão sua, para podermos estudar a variação de sinais de cada uma delas. Assim teremos:

f(x) = x² + 2x ---> raízes: x²+2x = 0 ---> x*(x+2) ---> x' = 0; x'' = - 2
g(x) = x²+5x+6 --> raízes: x²+5x+6 = 0 ---> x' = -3; x'' = - 2

Agora vamos estudar a variação de sinais de cada uma das equações dadas em função de suas raízes. Depois veremos qual é o domínio da inequação completa (que é uma inequação-quociente):

a) f(x) = x²+2x...... + + + + + + + ++ + +(-2)- - - - - - - - -  (0) + + + + + + ...
b) g(x)=x²+5x+6... + + + + +(-3)- - - - - (-2) + + + + + + + + + + + + + + +...
c) a/b . . . . . . . . . .+ + + ++ (-3)- - - - - (-2)- - - - - - - - - -(0)++++++++++...

Como queremos que a inequação-quociente seja MAIOR OU IGUAL a zero, então só nos interessa onde tiver sinal de MAIS (ou zero) no item "c" acima, que nos dá o resultado da divisão de f(x) por g(x).
Assim, o domínio da inequação f(x)/g(x) ≥ 0 , serão os seguintes intervalos:

x < - 3 ou x ≥ 0

Aí você poderá perguntar: e por que  "x" é apenas menor a (-3) e, no entanto, quanto ao zero, ele poderá ser MAIOR ou IGUAL?
Resposta: porque (-3) é raiz de g(x) e g(x) é o denominador. Se admitíssemos que "x" pudesse ser igual a "-3", iríamos admitir divisão por zero e isso não existe. Por isso é que o domínio da inequação dada é apenas o que vimos aí em cima, ou seja:

x < -3 ou x ≥ 0 .

Se quiser, poderá apresentar o domínio assim, o que é a mesma coisa:

D = {x ∈ R | x < -3 ou x ≥ 0}

Ou ainda, também se quiser, poderá apresentar o domínio do seguinte modo, o que significa o mesmo:

D = (-∞; -3) ∪ [0; +∞)

Veja que antes, eu havia dado, no primeiro intervalo, como se fossem válidos apenas os sinais de "menos", mas temos que pegar é onde tiver "mais". E só tem mais nos intervalos que vimos, que são: x < -3 ou x ≥ 0.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.