Question

Resolva em R, as seguintes equações exponenciais:
a) $11^{2 x^{2} - 5x +2}$ = 1
b) $9^{x+1}$ = $\sqrt[3]{3}$
c) $0,8^{x}$ = $(\frac{5}{4})$

Answer 1

A ideia para se resolver equações exponenciais assim é reduzir os dois lados da igualdade a exponenciais de mesma base. Daí, é só igualar os expoentes para resolver a equação.


a) $\mathsf{11^{2x^2-5x+2}=1}$

Mas $\mathsf{1=11^0,}$ então a equação fica

$\mathsf{11^{2x^2-5x+2}=11^0}$


Igualando os expoentes,

$\mathsf{2x^2-5x+2=0\qquad(\textsf{equa\c{c}\~ao quadr\'atica})}\\\\\\ \mathsf{\Delta=b^2-4ac}\\\\ \mathsf{\Delta=(-5)^2-4\cdot 2\cdot 2}\\\\ \mathsf{\Delta=25-16}\\\\ \mathsf{\Delta=9}\\\\ \mathsf{\Delta=3^2}$


$\mathsf{x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}}\\\\\\ \mathsf{x=\dfrac{-(-5)\pm\sqrt{3^2}}{2\cdot 2}}\\\\\\ \mathsf{x=\dfrac{5\pm 3}{4}}\\\\\\ \begin{array}{rcl} \mathsf{x=\dfrac{5-3}{4}}&~\textsf{ ou }~&\mathsf{x=\dfrac{5+3}{4}}\\\\ \mathsf{x=\dfrac{\,2\,}{4}}&~\textsf{ ou }~&\mathsf{x=\dfrac{\,8\,}{4}} \end{array}\\\\\\ ~~\quad\boxed{\begin{array}{rcl} \mathsf{x=\dfrac{\,1\,}{2}}&~\textsf{ ou }~&\mathsf{x=2} \end{array}}$


Conjunto solução:   $\mathsf{S=\left\{\dfrac{\,1\,}{2},\,2\right\}.}$

___________

 
b) $\mathsf{9^{x+1}=\,^3\!\!\!\!\sqrt{3}}$
 
$\mathsf{(3^2)^{x+1}=3^{1/3}}\\\\ \mathsf{3^{2(x+1)}=3^{1/3}}$


Igualando os expoentes,

$\mathsf{2(x+1)=\dfrac{1}{3}}\\\\\\ \mathsf{3\cdot 2(x+1)=1}\\\\ \mathsf{6(x+1)=1}\\\\ \mathsf{6x+6=1}\\\\ \mathsf{6x=1-6}\\\\ \mathsf{6x=-5}\\\\ \boxed{\begin{array}{c} \mathsf{x=-\,\dfrac{\,5\,}{6}} \end{array}}$


Conjunto solução:   $\mathsf{S=\left\{-\,\dfrac{\,5\,}{6} \right \}.}$


___________

 
c) $\mathsf{0,\!8^x=\dfrac{\,5\,}{4}}$

$\mathsf{\left(\dfrac{\,8\,}{10}\right)^{\!x}=\dfrac{\,5\,}{4}}\\\\\\ \mathsf{\left(\dfrac{\,4\,}{5}\right)^{\!x}=\dfrac{\,5\,}{4}}\\\\\\ \mathsf{\left(\dfrac{\,4\,}{5}\right)^{\!x}=\dfrac{~1~}{\frac{4}{5}}}\\\\\\ \mathsf{\left(\dfrac{\,4\,}{5}\right)^{\!x}=\left(\dfrac{\,4\,}{5}\right)^{\!-1}}$


Igualando os expoentes,

$\boxed{\begin{array}{c}\mathsf{x=-1} \end{array}}$


Conjunto solução:   $\mathsf{S=\{-1\}.}$


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Bons estudos! :-)


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