Question

Resolva, em R, as seguintes equações:
a) log, [(x - 1)(x + 3)] = 1
b) log5 (x - 1) + log5 (x + 3) = 1
c) (log x)² - log x - 2 = 0
d) log, x - log, x = 1
e) (log₂ x)² = log₂ x²​

Answer 1

Com a definição de logaritmo, temos como resposta

• a)$x=-1+\sqrt{14},\:x=-1-\sqrt{14}$

• b)x=2

• c)$x=100,\:x=\frac{1}{10}$

• d)$\mathrm{Sem\:solucao\:para}\:x\in \mathbb{R}$

• e)$x=4,\:x=1$

Logaritmo

O logaritmo de qualquer número positivo, cuja base seja um número maior que zero e não igual a um, é o índice ou a potência à qual a base deve ser elevada para obter o número dado. Matematicamente: Se $\begin{array}{l}{{a}^{x}}=b\left( com\,\,a > 0,\ne 1 \right),\end{array}$ então x é chamado de logaritmo de b na base a e escrevemos $log_a b = x$, claramente b > 0. Assim:

• $\begin{array}{l}{{\log }_{a}}b=x\Leftrightarrow {{a}^{x}}=b,a > 0,a\ne 1\end{array},b > 0$

Se a = 10, escrevemos log b em vez de $log_1_0 b$. Se a = e, escrevemos ln b em vez de $log_e b$. Aqui, 'e' é chamado de base de Napier e tem valor numérico igual a 2,7182. Além disso, $log_1_0 e$ é conhecido como constante de Napier, ou seja, $log_1_0 e$ = 0,4343

∴ ln b = 2,303 log10 b

Desde,

$\begin{array}{l}\left[\ln \,b={{\log }_{10}}b\times {{\log }_{e}}10=\dfrac{1}{{{\log }_{10}}e}\times {{\log }_{10}}b \right.\left. =\dfrac{1}{0.4343}{{\log }_{10}}b=2.303\ {{\log }_{10}}b \right]\end{array}$

a)

$\log _{10}\left(\left(x-1\right)\left(x+3\right)\right)=1$

$\left(x-1\right)\left(x+3\right)=10$

$x=-1+\sqrt{14},\:x=-1-\sqrt{14}$

b)

$log_5\left(x\:-\:1\right)\:+\:log_5\left(x\:+\:3\right)\:=\:1$

$\left(x-1\right)\left(x+3\right)=5$

$x=2,\:x=-4$

$x=2$

c)

$\left(log\:x\right)^2\:-\:\left(log\:x\right)\:-\:2\:=\:0$

$\left(u\right)^2-u-2=0$

$u=2,\:u=-1$

$x=100,\:x=\frac{1}{10}$

d)

$log\:x\:-\:log\:x\:=\:1$

$0=1$

$\mathrm{Sem\:solucao\:para}\:x\in \mathbb{R}$

e)

$\left(log_2\:x\right)^2\:=\:log_2\:x^2$

$\left(\log _2\left(x\right)\right)^2=2\log _2\left(x\right)$

$\left(u\right)^2=2u$

$u=2,\:u=0$

$x=4,\:x=1$

Saiba mais sobre logaritmo:https://brainly.com.br/tarefa/47112334

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