Question

Resolva, em R, as seguintes equações:
a)4|x|^2 -2|x|=3
b) |x|^2 -3|x|=10

Answer 1

Resposta:

$a) x=\dfrac{1+\sqrt{13} }{4} .....ou....x=\dfrac{-1-\sqrt{13} }{4}$

b )   S = { - 5 ; 5 }

Explicação passo a passo:

a )

$4*|x|^2-2|x|=3$

Mudar de variável

| x | = y

4y² - 2y - 3 = 0

Resolver a equação do 2º grau pela Fórmula de Bhascara

y = ( -b ± √Δ ) /(2a)     a ; b ; c  ∈ |R   a ≠ 0

a =   4

b = - 2

c = - 3

Δ = ( - 2 )² - 4 * 4 * ( - 3 ) = 4 + 48 = 52

√Δ = √52

Simplificar √52

Decompor 52 em fatores primos

52 | 2         52 = 2² * 13

26 | 2

13 | 13

  1

$\sqrt{52} =\sqrt{4*13} =\sqrt{4} *\sqrt{13} =2\sqrt{13}$

y1 = ( - ( - 2 ) + 2 √13 ) / ( 2 * 4 )

y1 = ( + 2 + 2 √13 ) / ( 2 * 4 )

No numerador colocar 2 em evidência e cancelar com o 2 no

denominador:

$y_{1} =\dfrac{2+2*\sqrt{13} }{2*4} =\dfrac{2 *(1+\sqrt{13}) }{2*4} =\dfrac{1+\sqrt{13} }{4}$

$y_{2} =\dfrac{2-2*\sqrt{13} }{2*4} =\dfrac{2 *(1-\sqrt{13}) }{2*4} =\dfrac{1-\sqrt{13} }{4}$

Mudar para a variável inicial

Para :

$y =\dfrac{1+\sqrt{13} }{4}$    

sendo | x | = y

$|x|=\dfrac{1+\sqrt{13} }{4}$

$x=\dfrac{1+\sqrt{13} }{4}$            

ou    

$x=-(\dfrac{1+\sqrt{13} }{4})=x=\dfrac{-1-\sqrt{13} }{4}$    

Temos duas soluções opostas ( simétricas )

Para

$y=\dfrac{1-\sqrt{13} }{4}$        igual a        $y=\dfrac{1-3,6 }{4}=-\dfrac{2,6}{4}$

$| x | = -\dfrac{2,6}{4}$

Um módulo de algo não pode vir nunca negativo.

$y=\dfrac{1-\sqrt{13} }{4}$

Esta solução é de rejeitar.

b )

$|x|^2-3|x|=10$

Mudança de variável

| x | = y

y² - 3y = 10

y² - 3y - 10 = 0

a = 1

b = - 3

c = - 10

Δ = ( - 3 )² - 4 * 1 * ( - 10 )= 9 + 40 = 49

√Δ = √49 = 7

y1 = ( - ( - 3 ) + 7 ) /( 2 * 1 )

y1 = ( 3 + 7  )/ 2

y1 = 5

y2 = ( - ( - 3 ) - 7 ) /( 2 * 1 )

y2 = ( 3 - 7 ) / 2

y2 = - 4 / 2

y2 = - 2

Mudar para a variável original

Para y = 5

| x | = 5

⇔

x = 5    ∨   x = - 5

Para y = - 2

| x | = - 2

Impossível. Módulo de um valor vem sempre positivo.

Rejeitar a " solução y = - 2 ".

S = { - 5 ; 5 }

Bons estudos.

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( * )  multiplicação         ( * )  divisão      (  |    |  )    módulo de  

(  ∨ )  ou          (  ⇔ )  equivalente

( y1 e y2 ) nomes dados às raízes das equações do 2º grau

Nas minhas respostas mostro e explico os passos dados na resolução, para que o usuário seja capaz de aprender e depois fazer, por ele, em casos idênticos.

O que eu sei, eu ensino.