Question

Resolva em R, as equações biquadradas :
a) x(a quarta)-5x²+4=0
(O livro da uma sugestão para substituir x² por y e x a quarta por y²)

Answer 1

$x^{4}-5x^{2}+4$


Fazemos a substituição

$y=x^{2} \Rightarrow y^{2}=x^{4}$

com a restrição $y\geq0$, pois $y$ é o quadrado de um número real.


$y^{2}-5y+4=0\\ \\ y^{2}-y-4y+4=0\\ \\ y \cdot \left(y-1 \right )-4\cdot \left(y-1 \right )=0\\ \\ \left(y-1\right)\cdot\left(y-4 \right )=0\\ \\ \begin{array}{rcl} y-1=0&\text{ ou }&y-4=0\\ y=1&\text{ ou }&y=4 \end{array}$


Voltando à variável original $x$, temos

$\begin{array}{rcl} x^{2}=1&\text{ ou }&x^{2}=4\\ x=\pm\sqrt{1}&\text{ ou }&x=\pm\sqrt{4}\\ \end{array}\\ \\ \\ \boxed{ \begin{array}{rcl} x=\pm 1&\text{ ou }&x=\pm 2 \end{array} }$


As soluções são: $\left\{-1,1,-2,2 \right \}$.