Question

Resolva em C as equações e explique:

Answer 1

Olá!

     Note que ambas as equações são biquadradas (potência maior é 4 e não tem variável com expoente ímpar).

a)

Seja   $y=x^2.$   DaÍ,

$x^4+5x^2+6=0\Leftrightarrow y^2+5y+6=0.$

    Agora ficamos com uma equação do segundo grau na variável y. Vamos resolvê-la e depois substituir de volta para a variável x. Assim:

$y^2+5y+6=0\Rightarrow \Delta = 5^2-4\cdot 1\cdot 6 = 25-24=1\Rightarrow \\ \\ \Rightarrow y=\dfrac{-5\pm\;\sqrt{1}}{2\cdot 1}\Rightarrow y=\dfrac{-5+1}{2}=-2\;\;\text{ou}\;\;y=\dfrac{-5-1}{2}=-3.\\ \\ \\ \text{Mas y=x^2 e, da\'{\i},}\\ \\ \left\{\begin{array}{lcr}\text{Para y=-2 } &:&-2=x^2\Rightarrow |x|=\sqrt{-2}\Rightarrow x=\pm \;\sqrt{-2} \\ \text{Para y=-3 }&:&-3=x^2\Rightarrow |x|=\sqrt{-3}\Rightarrow x=\pm\;\sqrt{-3}\end{array}\right.$

    Agora você pode estar pensando: "mas como assim, raiz quadrada de número negativo?"

    Lembra que é para resolver as equações nos complexos   $(\text{em }\mathbb{C}).$  E, nos complexos, temos   $\sqrt{-1} = i.$

    Segue que

$x=\pm\;\sqrt{-2}=\pm\;\sqrt{2}\cdot \sqrt{-1}=\pm\;i\sqrt{2}\\ \text{e}\\ x=\pm\;\sqrt{-3}=\pm\;\sqrt{3}\cdot \sqrt{-1}=\pm \; i\sqrt{3}$

    Portanto, o conjunto solução é

$S=\{i\sqrt{2},-i\sqrt{2},i\sqrt{3},-i\sqrt{3}\}.$


b)

Faremos exatamente do mesmo modo.

$\text{Seja y=x^2 . Da\'{\i},}\\ \\ x^4+3x^2-4 = 0\Rightarrow y^2+3y-4=0\Rightarrow \Delta = 9+16=25\Rightarrow \\ \\ \Rightarrow y=\dfrac{-3\pm\;\sqrt{25}}{2}\Rightarrow y=1\;\;\text{ou}\;\;y=-4.\\ \\ \text{Mas, y=x^2 . Ent\~ao:}\\ \\ y=1\Rightarrow x^2=1\Rightarrow |x|=\sqrt{1}\Rightarrow x=\pm\;1\\ \\ y=-4\Rightarrow x^2=-4\Rightarrow |x|=\sqrt{-4}\Rightarrow x=\pm\;2i$

 
    Portanto, o conjunto solução é

$S=\{-1,1,-2i,2i\}.$




Bons estudos!