Question

Resolva, em ℝ, as seguintes inequações: a) – x² – 11x – 42 < 0; b) x² – 4x – 42 ≤ 0 *

Answer 1

Resposta:

a ) { x ∈ |R  |  - ∞ < x < + ∞ }  

Esta inequação é válida para todos os números reais

b ) { x ∈ |R |  2 - √46 ≤   x   ≤  2 + √46 }

ou

na forma de intervalo   [  2 - √46  ; 2 + √46 ]  

Explicação passo a passo:

Para fazer a análise do sinal de uma parábola ( gráfico de

funções do 2º grau como estas ) precisamos primeiro de saber

o valor do binómio discriminante ( Δ = b² - 4 * a * c )

Com isso sabemos a quantidade de zeros reais.

a)

– x² – 11x – 42 < 0

– x² – 11x – 42

a =  - 1

b = - 11

c = - 42

Δ = b² - 4 * a * c

Δ = ( - 11 )² - 4 * ( - 1 ) * ( - 42 ) = 121 - 168 = - 47

Sendo Δ < 0 então

– x² – 11x – 42 < 0   para todos os números reais que "x" tome.

A função vai ter gráfico todo abaixo do eixo do x

( ver gráfico em anexo 1 )

{ x ∈ |R |  - ∞ < x < + ∞ }

b )

x² – 4x – 42 ≤ 0  

a =   1

b = - 4

c = - 42

Δ = ( - 4 )² - 4 * 1 * ( - 42 ) = 16 + 168 = 184

√Δ = √184

Raiz quadrada de 184 não dá um número inteiro.

Vamos decompor 184 em fatores primos, para simplificar a raiz

quadrada.

184 | 2     $\sqrt{184}=\sqrt{2^2*2*23} =\sqrt{2^2} *\sqrt{46} =2\sqrt{46}$

92 | 2

46 | 2

23 | 23

  1

$x1 = (- (-4)+2\sqrt{46}) /(2*1)$

Colocando no numerador o 2  em evidência

$x1 = (+4+2\sqrt{46}) /2=\dfrac{2*(2+\sqrt{46}) }{2} =2+\sqrt{46}$

$x1 = (+4-2\sqrt{46}) /2=\dfrac{2*(2-\sqrt{46}) }{2} =2-\sqrt{46}$

Tem duas raízes reais distintas.

Como o a = 1    logo > zero

e

a parábola tem curvatura virada para cima

Essa função x² – 4x – 42 tem valor negativos entre as raízes.

A inequação

x² – 4x – 42 ≤ 0

é válida no intervalo [  2 - √46  ; 2 + √46 ]  

( ver em gráfico no anexo 2 )

Bons estudos.

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( * ) multiplicação    ( / ) divisão     ( ∈ ) pertence a

( | ) tal que          ( | R )   conjunto números reais

( > ) maior do que