Question

resolva EDO 8y"+12y'+5y=0

Answer 1

Olá

EDO 2ª ordem


8y'' + 12y' + 5y = 0

Equação característica

8k² + 12k + 5 = 0

Δ = (12)² - 4*8*5
Δ = 144 - 160
Δ = -16


Δ < 0



Temos que:

Se Δ>0 , A equação geral terá essa forma:

$\displaystyle \mathsf{Y_h=C_1e^{\alpha_1 x}+C_2e^{\alpha_2 x}}$


Se Δ=0 , A equação geral terá essa forma:

$\displaystyle \mathsf{Y_h=C_1e^{\alpha_1 x}+C_2xe^{\alpha_2 x}}$



Se Δ<0 , A equação geral terá essa forma:


$\displaystyle \mathsf{Y_h=e^{\alpha x}\left[C_1cos(\beta x)+C_2sen(\beta x)\right]}\\\\\\\text{Sendo}\\\\\\\mathsf{\alpha = \frac{-a_1}{2} \qquad\qquad\qquad \beta = \sqrt{ \frac{-\Delta}{4} } }$

e C1 e C2, são constantes que só conseguiremos determinar caso haja um valor inicial.

Lembrando que uma equação do segundo grau tem a forma: 

$\mathsf{a_2x^2+a_1x+a_0=0}$




Estamos no ultimo caso... Δ<0


Então vamos encontrar os valores de α e β


$\displaystyle \mathsf{\alpha = \frac{-12}{2}\qquad\qquad\qquad\boxed{\alpha =-6 }}\\\\\\\\\mathsf{\beta = \sqrt{ \frac{-(-16)}{4} } \qquad\qquad\qquad\boxed{\beta = 2 }}}$




Portanto, a nossa solução geral, e resposta do exercício fica sendo:


$\displaystyle \boxed{\mathsf{Y_h=e^{-6x}\left[C_1cos(2x)+C_2sen(2x)\right]}}$