Question

Resolva e marque o conjunto solução na reta orientada:

c) 1/(x-1) + 2/ (x+1) = 1 x ≠ 1 e x≠ -1

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Considere a função dada pela expressão:

           (1/x)
f(x) = --------- + √x² - 5x + 6 ⇒ (a raiz vai de x² até 6)
            x - 1
a) Determine o domínio da função. Dê a resposta usando notação de intervalo.
b) Represente na reta numérica esse domínio . Faça uma legenda para a sua figura.

Answer 1

Vamos lá.

i) Tem-se as seguintes questões.

1ª questão:  Resolva e marque o conjunto-solução na reta orientada:

1/(x-1) + 2/(x+1) = 1 , com x ≠ 1 e x ≠ -1.

Veja que o MMC no 1º membro é igual a (x-1)*(x+1). Assim, utilizando-o no 1º membro, teremos:

[1*(x+1) + 2*(x-1)]/[(x-1)*(x+1)] = 1 ---- desenvolvendo, teremos:
[(x+1) + (2x-2)] / [x² - 1] = 1 ---- continuando o desenvolvimento no numerador, teremos:

[x+1 + 2x-2]/[x² - 1] = 1 --- reduzindo os termos semelhantes, temos:
[3x - 1]/[x² - 1] = 1 ---- veja que vamos poder multiplicar em cruz com tranquilidade, com a certeza de que não estamos multiplicando nada por zero, pois já está notificado de que "x" é diferente de "1" e de "-1". Então vamos efetuar a multiplicação em cruz, ficando assim:

3x - 1 = 1*(x²-1) ----- desenvolvendo, temos:
3x - 1 = x² - 1 ---- passando todo o 1º membro para o 2º, teremos:
0 = x² - 1 - 3x + 1 ----- reduzindo os termos semelhantes, temos:
0 = x² - 3x --- ou invertendo-se, o que dá no mesmo:
x² - 3x = 0 ----- vamos pôr "x" em evidência, ficando:
x*(x - 3) = 0  ---- veja que aqui temos o produto entre dois fatores cujo resultado é nulo. Quando isso ocorre, um dos fatores é nulo. Então teremos as seguintes possibilidades

ou
x = 0 ---> x' = 0

ou
x-3 = 0 ---> x'' = 3

Assim, o conjunto-solução será:

x = 0, ou x = 3 <--- Esta é a resposta.

Se quiser, também poderá apresentar o conjunto-solução {x'; x''} a seguinte forma, o que dá no mesmo:

S = {0; 3}.

Colocando esses valores na reta orientada, teremos e deixando explícito que "x" não pode assumir os valores de "-1" e "1", teremos:

_____○____●____○________●_____________
............↑..........↑.........↑.....................↑
...........-1.........0..........1.....................3........................


2ª questão: Considere a função dada pela expressão abaixo:          

f(x) = [(1/x) / (x-1)] + √(x²-5x+6)]

Dada essa informação, então:

a) Determine o domínio da função. Dê a resposta usando notação de intervalo.

Note que o domínio vai ser fácil de determinar, pois basta que façamos as restrições necessárias. Veja:

- em 1/x, deveremos ter que x ≠ 0, pois não há divisão por zero.
- no denominador (x-1) deveremos ter que x-1 ≠ 0 ---> x ≠ 1, pela mesma razão acima (não existe divisão por zero).
- e, finalmente em √(x²-5x+6), deveremos impor que o radicando seja maior ou igual a zero, pois radicais de índice par só admitem radicandos que sejam maiores ou iguais a zero. Então, deveremos impor que:

x² - 5x + 6 ≥ 0 ---- veja que as raízes desta equação são x' = 2; e x'' = 3.
Agora vamos estudar a variação de sinais desta equação:

x² - 5x + 6 ≥ 0 ... + + + + + + + (2) - - - - - - - -  (3) + + + + + + + + +

Assim, como vimos aí em cima, a equação acima só será maior ou igual a zero no seguinte intervalo:

x ≤ 2, ou x ≥ 3

Mas note que "x" não vai poder ser igual a "0" nem igual a "1", pelas restrições anteriores que impusemos (lembra?). Então o conjunto-solução (domínio) da expressão toda [f(x) = [(1/x)/(x-1)] + √(x²-5x+6) será este, dando-se por intervalos reais:

x < 0, ou: 0 < x < 1, ou: 1 < x ≤ 2, ou: x ≥ 3 ---- Esta é a resposta.

Se quiser, esses intervalos também poderiam ser dados assim, o que dá no mesmo:

(-∞; 0) ∪ (0; 1) ∪ (1; 2] ∪ [3; +∞).

b) Represente na reta numérica esse domínio . Faça uma legenda para a sua figura.
Veja: vamos colocar esses valores na reta numérica, deixando a notação de
"○" e  "●", significando, respectivamente, o que NÃO ENTRA e o que ENTRA. Assim, teremos (marcando-se o que vale com o símbolo ///////:

...(-∞).../ / / / / / / / / (○0)/ / / / / / (○1)/ / / / / / / / / (●2)______(●3)/ / / / / / ....(+∞)

Pronto. O que vale está marcado com o símbolo /////////, valendo atentar as  notificações "○" e "●" como símbolos que significam "não entra" e "entra", respectivamente.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.