Question

Resolva detalhadamente os limites
justificando cada passo de resolução com os
fundamentos matemáticos que forem usados.

Answer 1

Utilizando fatoração e analise dos limites, temos que:

a) Tende a infinito.

b) Tende a 1/128.

Explicação passo-a-passo:

(a) Então vamos para o limite:

$\lim_{x \to -1} \frac{x^2-4x}{x^2-3x-4}$

Vamos primeiramente fatorar em cima colocando x em evidência, e em baixo em função de suas raízes:

$\lim_{x \to -1} \frac{x(x-4)}{(x+1)(x-4)}$

Cortando (x-4) em cima e em baixo:

$\lim_{x \to -1} \frac{x(x-4)}{(x+1)(x-4)}$

$\lim_{x \to -1} \frac{x}{x+1}$

Agora temos que este é um limite comum, vamos separar ele em limite pela esquerda e direita e você verá que ele existe:

$\lim_{x \to -1^{-}} \frac{-1}{-1^{-}+1}=\frac{-1}{0^{-}}\to\infty$ (Pois fica negativo sobre negativo, então é infinito positivo).

$\lim_{x \to -1^{+}} \frac{1}{-1^{+}+1}=\frac{1}{0^{+}}=\to\infty$ (Fica positivo sobre positivo, então tende a infinito positivo).

Assim temos que este limite tende a infinito.

(b) Temos então o limite:

$\lim_{x \to 16} \frac{4-\sqrt{x}}{16x-x^2}$

Primeiramente vamos substituir √x por outra letra, por exemplo y:

$\lim_{x \to 16} \frac{4-\sqrt{x}}{16x-x^2}$

$\lim_{x \to 16} \frac{4-y}{16y^2-y^4}$

Colocando y em evidência em baixo agora:

$\lim_{x \to 16} \frac{4-y}{y^2(16-y^2)}$

Note que em baixo temos uma diferença de quadrados:

$\lim_{x \to 16} \frac{4-y}{y^2(16-y^2)}$

$\lim_{x \to 16} \frac{4-y}{y^2(4-y)(4+y)}$

Cortando 4-y em cima e em baixo:

$\lim_{x \to 16} \frac{1}{y^2(4+y)}$

Trocando novamente y por √x:

$\lim_{x \to 16} \frac{1}{y^2(4+y)}$

$\lim_{x \to 16} \frac{1}{x(4+\sqrt{x})}$

Substituindo x por 16 agora:

$\frac{1}{16.(4+\sqrt{16})}$

$\frac{1}{16.(4+4)}$

$\frac{1}{16.8}$

$\frac{1}{128}$

Assim este limite tende a 1/128.