Question

Resolva detalhadamente a seguinte equação irracional $\sf {\sqrt {5-x}~=~5-x^2}$

Desde ja agradeço a colaboração!


$\large \red{ \mid{ \underline{ \overline { \tt Att: \mathbf{JOVIAL :- )}}} \mid}}$​

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Equação irracional

Dada a equação :

$\sf{ \sqrt{ 5 - x } ~=~ 5 - x^2 }$

$\Longrightarrow \sf{ x^2 ~=~ 5 - \sqrt{5 - x} }$

Aplique raiz quadrada em ambos os membros :

$\Longrightarrow \sf{ \sqrt{x^2} ~=~ \sqrt{ 5 - \sqrt{5 - x} } }$

$\Longrightarrow \sf{ |~x~| ~=~ \sqrt{ 5 - \sqrt{5 - x}} }$

Pela definição algébrica dos módulos podemos ter que :

$\iff \sf{|~x~|~=~ } \begin{cases} \sf{ x~,~se~ x \geq 0 } \\ \\ \sf{ -x ~,~ se~ x < 0 } \end{cases}$

Então :

$\Longrightarrow \sf{ x~=~\red{ \sqrt{5 - \sqrt{5 - x} } }(I)~\vee~ -x~=~\sqrt{ 5 - \sqrt{5 - x} } (II) }$

Vamos resolver a equação (I)

$\sf{ x~=~\sqrt{5 - \sqrt{5 -\red{ x } } } }$

Perceba no passo anterior " indicamos " o vamos de x :

$\Longrightarrow \sf{ x~=~ \sqrt{ 5 - \sqrt{5 - \red{ \sqrt{5 - \sqrt{5 - x }}}}}}$

Fazendo o mesmo procedimento, veremos que :

$\Longrightarrow \sf{\pink{ x~=~ \sqrt{ 5 - \sqrt{ 5 - \sqrt{5 - \cdots } } }} }$

Analogamente :

$\sf{ x~=~ \sqrt{5 - \pink{x} } }$

Eleve ambos membros ao quadrado :

$\Longrightarrow \sf{x^2 ~=~ 5 - x }$

$\Longrightarrow \sf{ x^2 + x -5 ~=~0 }$

$\Longrightarrow \sf{ x^2 + x \red{ +\Big( \dfrac{1}{2}\Big)^2 - \Big( \dfrac{1}{2}\Big)^2} - 5 ~=~0 }$

$\Longrightarrow \sf{ \Big( x + \red{\dfrac{1}{2}} \Big)^2 - \dfrac{21}{4} ~=~ 0 }$

$\Longrightarrow \sf{ \Big( x + \red{\dfrac{1}{2}} \Big)^2 ~=~ \dfrac{21}{4} }$

Aplique raiz quadrada em ambos membros :

$\Longrightarrow \sf{ \sqrt{ \Big( x + \red{ \dfrac{1}{2}}\Big)^2 }~=~ \sqrt{ \dfrac{21}{4} } }$

$\Longrightarrow \sf{ |~x~ + \red{\dfrac{1}{2}} | ~=~ \dfrac{ \sqrt{21} }{2} }$

Pela definição dos módulos acima indicado, podemos ter :

$\Longrightarrow \sf{ x + \red{ \dfrac{1}{2}}~=~\dfrac{\sqrt{21}}{2} ~\vee~-\Big(x + \red{\dfrac{1}{2}}\Big)~=~\dfrac{\sqrt{21}}{2} }$

$\Longrightarrow \sf{ x~=~ \dfrac{\sqrt{21} - 1}{2}~\vee~ x~=~-\dfrac{\sqrt{2} - 1}{2} }$

Única solução...

$\Longrightarrow \boxed{ \sf{ x~=~\Big(\dfrac{\sqrt{21}-1}{2}\Big) } }$

______________________________________________________________________________

Pegando na equação (II) :

$\sf{ -x~=~ \sqrt{ 5 - \sqrt{5 - x} } }$

$\Longrightarrow \sf{ \purple{ x~=~ -\sqrt{5 - \sqrt{5 - x}} } }$

$\Longrightarrow \sf{ x~=~ - \sqrt{5 - \sqrt{5 - \Big( \purple{- \sqrt{5 - \sqrt{5-x}}}\Big) } } }$

$\Longrightarrow \sf{ x~=~ -\sqrt{5 - \sqrt{5 + \sqrt{5 - \sqrt{5-\red{x} } }}} }$

Fazendo o mesmo procedimento veremos que :

$\Longrightarrow \sf{ x~=~-\sqrt{5 - \sqrt{5+\sqrt{5- \cdots } } } }$

Perceba que a sequência da soma de radicais é alternada, então vamos considerar que :

$\sf{ \green{ \sqrt{a - \sqrt{a + \sqrt{a - \sqrt{a + \cdots }}}}~=~ \dfrac{ \sqrt{4a - 3} - 1 }{2} } }$

Então :

$\sf{ x~=~ - \Big( \dfrac{\sqrt{4*5 - 3} - 1}{2}\Big) }$

$\Longrightarrow \boxed{\sf{ x~=~ \dfrac{1 - \sqrt{17} }{2} } }$

$\green{ \boxed{ \pink{ \boxed{ \color{blue}{ \sf{ Sol: \Big\{ ~\dfrac{1-\sqrt{17}}{2}~;~\dfrac{\sqrt{21}-1}{2} \Big\} }}}}}} \green{\checkmark}\pink{\checkmark}\color{blue} \sf{ \longleftarrow Resposta }$

Espero ter ajudado bastante! (

Answer 2

$\sf {\sqrt {5-x}~=~5-x^2}$

Eleve ao quadrado ambos os membros da equação.

Eleve ao quadrado ambos os membros da equação.Sendo assim...

$\sf5 - x = 25 - 10x {}^{2} + x {}^{4}$

Mova a expressão para o membro esquerdo e altere o seu sinal.

Sendo assim...

$\sf5 - x - 25 + 10x {}^{2} - x {}^{4} = 0$

Calcule A diferença matemática.

Sendo assim...

$\sf - 20 - x + 10x {}^{2} - x {}^{4} = 0$

Some e subtraia x³.

Sendo assim...

$\sf - 20 - x + 10x {}^{2} - x {}^{4} + x {}^{3} - x {}^{3} = 0$

Escreva 10x como uma soma.

Sendo assim...

$\sf - 20 - x + 4x {}^{2} + x {}^{2} + 5x {}^{2} - x {}^{4} + x {}^{3} - x {}^{3} = 0$

Escreva -x como uma diferença.

Sendo assim...

$\sf - 20 + 4x - 5x + 4x {}^{2} + x {}^{2} + 5x {}^{2} - x {}^{4} + x {}^{3} - x {}^{3} = 0$

Coloque os fatores - x², - x, 5 em evidência na expressão.

Sendo assim...

$\sf5 \times (x {}^{2} - x - 4) - x \times (x {}^{2} - x - 4) - x {}^{2} \times (x {}^{2} - x - 4) = 0$

Coloque o fator - ( x² - x - 4 ).

Sendo assim...

$\sf - (x {}^{2} - x - 4) \times (x {}^{2} + x - 5) = 0$

Multiplique ambos os membros da equação por - 1.

Sendo assim...

$\sf (x {}^{2} - x - 4) \times (x {}^{2} + x - 5) = 0$

Quando o produto dos fatores é igual a 0, pelo menos um dos fatores é igual a 0.

Sendo assim...

$\sf \: x {}^{2} - x - 4 = 0 \\ \sf \: x {}^{2} + x - 5 = 0$

Calcule o Valor de X nas equações acima.

Sendo assim...

$\sf \: x = \frac{1 + \sqrt{17} }{2} \\ \sf \: x = \frac{1 - \sqrt{17} }{2} \\ \\ \sf \: x = \frac{ - 1 + \sqrt{21} }{2} \\ \sf \: x = \frac{ - 1 - \sqrt{21} }{2}$

Verifique se os valores dados, são as soluções das equações.

Sendo assim...

$\sf \sqrt{ 5 - \frac{1 + \sqrt{17} }{2} } = 5 - \bigg( \frac{1 + \sqrt{17} }{2}  \bigg) {}^{2} \\ \sf \sqrt{5 - \frac{1 - \sqrt{17} }{2} } = 5 - \bigg( \frac{1 - \sqrt{17} }{2}\bigg ) {}^{2} \\ \\ \sf \sqrt{5 - \frac{ - 1 + \sqrt{21} }{2} } = 5 -\bigg( \frac{ - 1 + \sqrt{21} }{2} \bigg) {}^{2} \\ \sf \sqrt{5 - \frac{ - 1 - \sqrt{21} }{2} } = 5 - \bigg( \frac{ - 1 - \sqrt{21} }{2} \bigg) {}^{2}$

Simplifique as igualdades e depois verifique se a mesma é verdadeira ou falsa.

Sendo assim...

$\sf 1.56155 = - 1.56155\\ \sf \sqrt{5 - \frac{1 - \sqrt{17} }{2} } = 5 - \bigg( \frac{1 - \sqrt{17} }{2}\bigg ) {}^{2} \\ \\ \sf \sqrt{5 - \frac{ - 1 + \sqrt{21} }{2} } = 5 -\bigg( \frac{ - 1 + \sqrt{21} }{2} \bigg) {}^{2} \\ \sf \sqrt{5 - \frac{ - 1 - \sqrt{21} }{2} } = 5 - \bigg( \frac{ - 1 - \sqrt{21} }{2} \bigg) {}^{2}$

Simplifique a expressão matemática.

Sendo assim...

$\sf 1.56155 = - 1.56155\\ \sf \frac{1 + \sqrt{17} }{2} = \frac{1 + \sqrt{17} }{2} \\ \\ \sf \sqrt{5 - \frac{ - 1 + \sqrt{21} }{2} } = 5 -\bigg( \frac{ - 1 + \sqrt{21} }{2} \bigg) {}^{2} \\ \sf \sqrt{5 - \frac{ - 1 - \sqrt{21} }{2} } = 5 - \bigg( \frac{ - 1 - \sqrt{21} }{2} \bigg) {}^{2}$

Simplifique as igualdades e depois verifique se as mesmas são verdadeiras ou falsas.

Sendo assim...

$\sf 1.56155 = - 1.56155\\ \sf \frac{1 + \sqrt{17} }{2} = \frac{1 + \sqrt{17} }{2} \\ \sf 1.79129 = 1.79129 \\ 2.79129 = - 2.79129$

A igualdade falsa, logo

$\sf \: x = \frac{1 + \sqrt{17} }{2}$

não é a solução da equação.

Sendo assim...

$\sf \: x≠ \frac{1 + \sqrt{17} }{2}$

A igualdade é verdadeira logo

$\sf \: x = \frac{1 - \sqrt{17} }{2}$

é a solução da equação.

Sendo assim...

$\sf \: x≠ \frac{1 - \sqrt{17} }{2} \\ \sf \: x = \frac{1 - \sqrt{17} }{2}$

A igualdade é verdadeira logo

$\sf \: x = \frac{ - 1 + \sqrt{21} }{2}$

é a solução da equação.

Sendo assim...

$\sf \: x≠ \frac{1 - \sqrt{17} }{2} \\ \sf \: x = \frac{1 - \sqrt{17} }{2} \\ \sf \: x = \frac{ - 1 + \sqrt{21} }{2}$

A igualdade é falsa logo

$\sf \: x = \frac{ - 1 - \sqrt{21} }{2}$

é a solução da equação.

Sendo assim...

$\sf \: x≠ \frac{1 - \sqrt{17} }{2} \\ \sf \: x = \frac{1 - \sqrt{17} }{2} \\ \sf \: x = \frac{ - 1 + \sqrt{21} }{2} \\ \sf \: x≠ \frac{ - 1 - \sqrt{21} }{2}$

A equação tem 2 soluções.

São elas...

$</em></strong><strong><em>\</em></strong><strong><em>red</em></strong><strong><em>{</em></strong><strong><em>\</em></strong><strong><em>boxed</em></strong><strong><em>{</em></strong><strong><em>\</em></strong><strong><em>sf</em></strong><strong><em>\</em></strong><strong><em>:</em></strong><strong><em> </em></strong><strong><em>Sol</em></strong><strong><em>:</em></strong><strong><em> </em></strong><strong><em>\</em></strong><strong><em>B</em></strong><strong><em>igg\</em></strong><strong><em>{</em></strong><strong><em> \: x _{1} = \frac{1 - \sqrt{17} }{2}</em></strong><strong><em>,</em></strong><strong><em> x _{</em></strong><strong><em>2} = \frac{ - 1 + \sqrt{21} }{2</em><em>}</em><em> </em></strong><strong><em>\</em></strong><strong><em>B</em></strong><strong><em>igg\</em></strong><strong><em>}</em></strong><strong><em>}</em></strong><strong><em>}</em></strong><strong><em>$