Question

resolva cada sistema de duas equações com duas incógnitas determinando os pares ordenados que são soluções dele. ​

Answer 1

Olá.

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O primeiro sistema pode ser resolvido por simples dedução. Já que x e y estão elevados ao quadrado, lembraríamos dos números que são quadrados perfeitos e veríamos quais se encaixam na soma e na subtração dadas.

São quadrados perfeitos: 1, 4, 9, 16, 25, 36, ....

1, pois 1² = 1*1 =1

4, pois 2² = 2*2 = 4

9, pois 3² = 3*3 =9

...

Quais quadrados perfeitos somados dariam 18 e subtraídos dariam 0? Só conseguiríamos se usássemos o 9 duas vezes... 9 e 9.

Quais são as raízes de 9? 3 e -3.

Então teríamos essas quatro possibilidades, e todas são soluções do sistema:

x = 3, y = 3

x = 3, y = -3

x = -3, y = 3

x = -3, y = -3.

S = {(3, 3), (3, -3), (-3, 3), (-3, -3)}

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Outra forma de resolver o sistema é a tradicional, substituindo uma equação na outra. Para isso isolamos uma das variáveis, para que possamos substituir seu valor na outra equação.

$\left \{ {{x^{2}+y^{2}=18} \atop {x^{2}-y^{2}=0}} \right.$

x² - y² = 0

x² = y²  (olha aí o porque só há resposta para o sistema se repertirmos o 9)

x² +y² = 18

y² +y² = 18

2y² = 18

y² = 18/2

y² = 9

$y = \pm\sqrt{9}$

$y = \pm3$

Agora substituímos os valores encontrados de y, para descobrir x.

Para y = 3

x² - y² = 0

x² - (3)² = 0

x² -9 = 0

x² = 9

$x = \pm\sqrt{9}$

$x=\pm3$

Para y = -3

x² - y² = 0

x² - (-3)² = 0

x² -9 = 0

x² = 9

$x = \pm\sqrt{9}$

$x=\pm3$

Portanto, mesma solução.

Para y = 3, x pode ser 3 ou -3.

Para y = -3, x pode ser 3 ou -3.

Para montar o conjunto solução colocaremos os pares ordenados que encontramos, lembrando que são ordenados porque seguem uma ordem determinada, que é (x, y), e não (y, x). Cuidado na hora de escrevê-los. Têm que estar na ordem certa, sempre a abcissa (x) primeiro, depois a ordenada (y) de cada par.

S = {(3, 3), (3, -3), (-3, 3), (-3, -3)}

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$\left \{ {{x+y^{2}=1} \atop {x-y=5}} \right.$

Para resolver esse sistema será necessário ter aprendido números complexos, pois teremos raiz de número negativo, que não existe no conjunto dos números reais. Faremos a resolução por substituição, também.

x -y = 5

x = 5 +y

x +y² = 1

(5 +y) +y² =1

y² +y +5 -1 = 0

y² +y +4 = 0

$\Delta = b^{2}-4ac = 1^{2}-4(1)(4)=1-16=-15$

$y=\frac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a} =\frac{-1\pm\sqrt\-15}{2*1}=\frac{-1\pm\i \sqrt{15}}{2}$

Substituindo y para encontrar x:

Para  $y=\frac{-1+\i \sqrt{15}}{2}$

x -y = 5

$x-(\frac{-1+\i \sqrt{15}}{2}) = 5$

$\frac{2x}{2}-(\frac{-1+\i \sqrt{15}}{2}) = \frac{10}{2}$

$2x-(-1+\i \sqrt{15}) = 10$

$2x+1-\i \sqrt{15} = 10$

$2x= 10-1+\i \sqrt{15}$

$2x= 9+\i \sqrt{15}$

$x= \frac{9+\i \sqrt{15}}{2}$

Para  $y=\frac{-1-\i \sqrt{15}}{2}$

x -y = 5

$x-(\frac{-1-\i \sqrt{15}}{2}) = 5$

$\frac{2x}{2}-(\frac{-1-\i \sqrt{15}}{2}) = \frac{10}{2}$

$2x-(-1-\i \sqrt{15}) = 10$

$2x+1+\i \sqrt{15} = 10$

$2x= 10-1-\i \sqrt{15}$

$2x= 9-\i \sqrt{15}$

$x= \frac{9-\i \sqrt{15}}{2}$

Ou seja,

para $y=\frac{-1+\i \sqrt{15}}{2}$  temos  $x= \frac{9+\i \sqrt{15}}{2}$

para $y=\frac{-1-\i \sqrt{15}}{2}$  temos  $x= \frac{9-\i \sqrt{15}}{2}$

$S = \{(\frac{9}{2} +i\frac{\sqrt{15}}{2} ,-\frac{1}{2} +i\frac{\sqrt{15}}{2} ),(\frac{9}{2} -i\frac{\sqrt{15}}{2} ,-\frac{1}{2} -i\frac{\sqrt{15}}{2} )$

Bons estudos.