Question

resolva as seguintes inequações do 2° grau em /R: a) 3x²-10x+7<0 b)-4x² + 9 >0

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Sara, que a resolução é simples.
Pede-se para resolver as seguintes inequações do 2º grau no âmbito do conjunto dos números reais.

a) 3x² - 10x + 7 < 0.
e
b) - 4x² + 9 > 0 .

Bem, antes de iniciar veja que a análise dos sinais de uma equação do 2º grau, da forma f(x) = ax² + bx + c, com raízes iguais a x' e x'',  comporta-se da seguinte forma:

i) f(x) terá o mesmo sinal do termo "a" (o termo "a" é o coeficiente de x²) para valores de "x" extrarraízes (fora das raízes), ou seja, para x < x' ou x > x''.

ii) f(x) terá sinal contrário ao sinal do termo "a" para valores de "x" intrarraízes (entre as raízes), ou seja, para: x' < x < x''.

iii) f(x) será igual a zero para valores de "x" iguais às raízes, ou seja, para: x = x' ou x = x''.

Bem, vistos esses rápidos prolegômenos, então vamos resolver suas duas questões.

a) 3x² - 10x + 7 < 0

Vamos encontrar as suas raízes. Para isso, igualaremos a zero, ficando:

3x² - 10x + 7 = 0 ---- se você aplicar Bháskara vai encontrar as seguintes raízes (cremos que você saiba como aplicar a fórmula de Bháskara para encontrar as raízes de uma equação do 2º grau, né?):

x' = 1
x'' = 7/3

Agora vamos estudar a variação de sinais da inequação originalmente dada em função das raízes (x' = 1 e x'' = 7/3). Assim (note que o termo "a" da inequação é positivo):

3x² - 10x + 7 < 0...+ + + + + + + + + (1) - - - - - - - - - -  (7/3) + + + + + + + + + +

Como queremos que a inequação seja MENOR do que zero, então só nos vai interessar onde tiver sinal de menos no gráfico acima. Assim, o intervalo que dá o conjunto-solução da inequação acima será:

1 < x < 7/3 ----- Esta é a resposta para a questão do item "a".


b) - 4x² + 9 > 0.

A exemplo da questão do item "a", vamos encontrar as raízes da equação "-4x²+9" e, para isso, igualaremos a zero, ficando:

- 4x² + 9 = 0 ---- passando "9" para o 2º membro, teremos:
- 4x² = - 9 ---- se multiplicarmos ambos os membros por "-1", teremos:
4x² = 9
x² = 9/4
x = +-√(9/4) ------- veja que √(9/4) = 3/2 . Assim:
x = +- 3/2 ----- ou seja:
x' = -3/2
x'' = 3/2.

Agora vamos estudar a variação de sinais da inequação dada, em função das raízes da função (note que o termo "a" é negativo). Assim, teremos:

-4x² + 9 > 0 . - - - - - - - - (-3/2) + + + + + + + + + (3/2) - - - - - - - - - - -

Como queremos que a inequação seja MAIOR do que zero, então só nos vai interessar onde tiver sinal de MAIS no gráfico acima. Assim, o intervalo que dá o conjunto-solução da inequação do item "b" será:

-3/2 < x < 3/2 ----- Esta é a resposta para a questão do item "b".

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.

Answer 2

Sara,
Vamos passo a passo

1° determinar raízes por qualquer método
2° efetuar estudo de sinais
3° definir o conjunto solução de acordo com a desigualdade

Nos casos em estudo
a)
       RAÍZES
             Fatorando
                  (x - 1)(3x - 7) = 0

             Cada fator deve ser nulo
                       x - 1 = 0
                                             x1 = 1
                     3x - 7 = 0
                           3x = 7
                                             x2 = 7/3 
ESTUDO SINAIS
               a > 0 concavidade voltada pata cima

                     + + +                                              + + +
                           -----|--------------------------------|----
                                1                                      7/3
                                   _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
                                                 * V
Os valores negativos (< 0) estão compreendidos entre 1 e 7/3

                             S = {x∈R | 1 < x < 7/3}

Mesmo procedimento anterior
b)
         RAÍZES     
                           4x^2 = 9
                             x^2 = 9/4
                                 x = √(9/4)
                                                     x1 = - 3/2
                                                     x2 = 3/2
       ESTUDO SINAIS
             a < 0 concavidade voltada pata baixo

                                               * V
                               + + + + + + + + + + +
                       ------|-----------------------------|-----
                           -3/2                               3/2
                 _ _ _                                              _ _ _ _

Os valores positivos ( > 0) estão compreendidos entre - 3/2 e 3/2

                                   S = {x∈R | - 3/2 < x < 3/2}