Question

Resolva as seguintes equações exponenciais:

a) ($4^{3-x}$)$^{2-x}$= 1


b) ($\sqrt[5]{4}$)^x=1/√8


c) 4^x − 2^x = 56


d) 4^x + 6^x = 2 ∙ 9^x

Answer 1

Resposta:

$\textsf{Leia abaixo}$

Explicação passo a passo:

$\mathsf{(4^{3 - x})^{2 - x} = 1}$

$\mathsf{(4^{x^2 - 5x + 6}) = 4^0}$

$\mathsf{x^2 - 5x + 6 = 0}$

$\mathsf{\Delta = b^2 - 4.a.c}$

$\mathsf{\Delta = (-5)^2 - 4.1.6}$

$\mathsf{\Delta = 25 - 24}$

$\mathsf{\Delta = 1}$

$\mathsf{x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{5 \pm \sqrt{1}}{2} \rightarrow \begin{cases}\mathsf{x' = \dfrac{5 + 1}{2} = \dfrac{6}{2} = 3}\\\\\mathsf{x'' = \dfrac{5 - 1}{2} = \dfrac{4}{2} = 2}\end{cases}}$

$\boxed{\boxed{\mathsf{S = \{3;2}\}}}}$

$\mathsf{(\sqrt[5]{4})^x = \dfrac{1}{\sqrt{8}}}$

$\mathsf{(2)^{\frac{2x}{5}} = \dfrac{1}{2^{\frac{3}{2}}}}$

$\mathsf{(2)^{\frac{2x}{5}} = (2)^{-\frac{3}{2}}}$

$\mathsf{{\dfrac{2x}{5}} = -\dfrac{3}{2}}}$

$\mathsf{{2x = -\dfrac{15}{2}}}$

$\boxed{\boxed{\mathsf{{x = -\dfrac{15}{4}}}}}$

$\mathsf{4^x - 2^x = 56}$

$\mathsf{2^{2x} - 2^x - 56 = 0}$

$\mathsf{y = 2^x}$

$\mathsf{y^{2} - y - 56 = 0}$

$\mathsf{\Delta = (-1)^2 + 4.1.56}$

$\mathsf{\Delta = 1 + 224}$

$\mathsf{\Delta = 225}$

 $\mathsf{y = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{1 \pm \sqrt{225}}{2} \rightarrow \begin{cases}\mathsf{y' = \dfrac{1 + 15}{2} = \dfrac{16}{2} = 8}\\\\\mathsf{y'' = \dfrac{1 - 15}{2} = -\dfrac{14}{2} = -7}\end{cases}}$

$\mathsf{2^x = 8}$

$\mathsf{2^x = 2^3}$

$\boxed{\boxed{\mathsf{{x = 3}}}}$

$\mathsf{4^x + 6^x = 2.9^x}$

$\mathsf{\dfrac{4^x}{9^x} + \dfrac{6^x}{9^x} = \dfrac{2.9^x}{9^x}}$

$\mathsf{\left(\dfrac{4}{9}\right)^x + \left(\dfrac{6}{9}\right)^x = 2}$

$\mathsf{y = \left(\dfrac{2}{3}\right)^x}$

$\mathsf{y^2 + y = 2}$

$\mathsf{y^2 + y - 2 = 0}$

$\mathsf{\Delta = b^2 - 4.a.c}$

$\mathsf{\Delta = (1)^2 - 4.1.(-2)}$

$\mathsf{\Delta = 1 + 8}$

$\mathsf{\Delta = 9}$

 $\mathsf{y = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-1 \pm \sqrt{9}}{2} \rightarrow \begin{cases}\mathsf{y' = \dfrac{-1 + 3}{2} = \dfrac{2}{2} = 1}\\\\\mathsf{y'' = \dfrac{-1 - 3}{2} = -\dfrac{4}{2} = -2}\end{cases}}$        

$\mathsf{ \left(\dfrac{2}{3}\right)^x = 1}$

$\mathsf{\left(\dfrac{2}{3}\right)^x = \left(\dfrac{2}{3}\right)^0}$

$\boxed{\boxed{\mathsf{{x = 0}}}}$