Question

Resolva as seguintes equações biquadradas, sendo U = R

As equações da foto e está seguinte equação precisa resolver:

e) 4x⁴ - 13x² + 3 = 0

Answer 1

Boa noite!

Vou ajudar com a primeira e o restante deixo as respostas, ok?

e)
Dada a equação:
$4x^4-13x^2+3=0$

Podemos usar a variável auxiliar 't' para auxiliar na resolução, da seguinte forma:
$t=x^2$

Então:
$4t^2-13t+3=0$
Agora temos uma equação do segundo grau.

A forma de resolver é através da fórmula de báskara:
$ax^2+bx+c=0$
$\Delta=b^2-4ac$
$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$

Comparando e resolvendo:
$a=4\\b=-13\\c=3$

Agora:
$\Delta=b^2-4ac\\\Delta=(-13)^2-4(4)(3)=169-48\\\Delta=121$

Substituindo na outra fórmula (lembrando-se que aqui a equação está em t, não x):
$t=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\\t=\dfrac{-(-13)\pm\sqrt{121}}{2(4)}\\t=\dfrac{13\pm 11}{8}\\t'=\dfrac{13+11}{8}=\dfrac{24}{8}=3\\t''=\dfrac{13-11}{8}=\dfrac{2}{8}=\dfrac{1}{4}$

Agora que temos os valores de t, podemos calcular os valores de x:
Para $t=3$ temos:
$x^2=t\\x^2=3\\x=\pm\sqrt{3}\\x'=\sqrt{3}\\x''=-\sqrt{3}$

Para $t=\dfrac{1}{4}$ temos:
$x^2=t\\x^2=\dfrac{1}{4}\\x=\pm\sqrt{\dfrac{1}{4}}\\x'=\dfrac{1}{2}\\x''=-\dfrac{1}{2}$


b)
$x^4-8x^2-9=0$
Resolvendo irá encontrar para 't':
$t=x^2\\t'=9\\t''=-1$

Somente para t=9 terá solução de x:
$x^2=9\\x=\pm 3\\x'=3\\x''=-3$

c)
$6x^4-5x^2+1=0$
Resolvendo irá encontrar para 't':
$t=x^2\\t'=\dfrac{1}{2}\\t''=\dfrac{1}{3}$

Para x:
$x=\pm\sqrt{\dfrac{1}{2}}\\x'=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\x''=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
ou
$x=\pm\sqrt{\dfrac{1}{3}}\\x'=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\\x''=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$

d)
$8x^4+2x^2-3=0$
Resolvendo irá encontrar para 't':
$t=x^2\\t'=-\dfrac{3}{4}\\t''=\dfrac{1}{2}$

Somente para o valor positivo terá resposta. Então:
$x=\pm\sqrt{\dfrac{1}{2}}\\x'=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\x''=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

f)
$x^4+x^2-6=0$
Resolvendo irá encontrar para 't':
$t=x^2\\t'=2\\t''=-3$
Solução somente para t=2
$x=\pm\sqrt{2}\\x'=\sqrt{2}\\x''=-\sqrt{2}$

g)
$3x^4-x^2-2=0$
Resolvendo irá encontrar para 't':
$t=x^2\\t'=3\\t''=-2$
Solução somente para t=3
$x=\pm\sqrt{3}\\x'=\sqrt{3}\\x''=-\sqrt{3}$

h)
$10x^4+9x^2+2=0$
Resolvendo irá encontrar para 't':
$t=x^2\\t'=\dfrac{-2}{5}\\t''=\dfrac{-1}{2}$
Não há valor de x para dar (ao quadrado), valor negativo.

Espero ter ajudado!