Question

Resolva as integrais indefinidas:

i)∫x cos²x dx j)∫cosx/sen⁵x dx

Answer 1

Olá

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I)

$\displaystyle \int x cos^2(x)dx \\ \\ \\ \text{Temos que resolver usando integracao por partes} \\ \\ \\ \boxed{\mathtt{\int udv=u\cdot v ~-~\int vdu }} \\ \\ \\ \text{Para a nossa integral ficar mais facil, no lugar de }cos^2(x)\\ \text{vamos utilizar uma identidade trigonometrica que diz} \\ \\ cos^2(x)= \frac{1}{2} (1+cos(2x))$

$\mathtt{u=x~~~~~ ~~~ ~~~~~~ ~dv= \frac{1}{2}(1+cos(2x)) dx} \\ \\ \mathtt{du=dx~~~~~~~ ~~~~~v=? } \\ \\ \\ \text{OBS: Para encontrar o 'v' basta integrar o 'dv'.} \\ \\ \text{Vamos integrar o dv para encontrar o v} \\ \\ \\ \displaystyle \frac{1}{2} \int dx~+~ \frac{1}{2} \int cos(2x)dx \\ \\ \\ \boxed{Dica: \int cos(\phi x)~=~ \frac{sen(\phi x)}{\phi} ~~~~~~~\phi \in R} \\ \\ \text{o mesmo vale para seno} \\ \\ \text{Nossa integral fica}$


$\displaystyle= \boxed{\frac{x}{2} ~+~ \frac{sen(2x)}{4} } ~~~~~~ ~\longleftarrow \text{Este e o nosso v} \\ \\ \\ \text{Voltando para integral por partes} \\ \\ \\ \int x cos^2(x)dx=x\cdot\left.\left( \frac{x}{2} + \frac{sen(2x)}{4} \right)~-~\int \frac{x}{2} + \frac{sen(2x)}{4} dx$

"Quebra" a integral em duas, e tira as constantes de dentro.


$\displaystyle \int x cos^2(x)dx=I \\ \\ \\ I=x\cdot\left.\left( \frac{x}{2} + \frac{sen(2x)}{4} \right)~-~ \frac{1}{2} \int xdx + \frac{1}{4} \int sen(2x)dx$

$\displaystyle I= x\cdot\left.\left( \frac{x}{2} + \frac{sen(2x)}{4} \right)~-~ \frac{x^2}{4} + \frac{cos(2x)}{8} }$

Voltando com a integral no lugar do I

$\displaystyle \boxed{\int xcos^2(x)dx= x\cdot\left.\left( \frac{x}{2} + \frac{sen(2x)}{4} \right)~-~ \frac{x^2}{4} + \frac{cos(2x)}{8} +C}$


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J)

$\displaystyle \int \frac{cos(x)}{sen^5(x)} dx \\ \\ \\ \text{Podemos fazer essa integral por substituicao 'udu'} \\ \\ \\ u=sen(x) \\ \\ du=cos(x)dx \\ \\ \\ \text{substituindo na integral} \\ \\ \\ \int \frac{du}{u^5} \\ \\ \\ \text{passa o }u^5~\text{para o numerador com o expoente negativo} \\ \\ \\ \int u^{-5}du \\ \\ \\ = \frac{u^{-5+1}}{-5+1} \\ \\ \\ = \frac{u^{-4}}{-4} \\ \\ \text{Voltando com o u} \\ \\ = \frac{sen^{-4}(x)}{-4}$

Tira a constante e põe o seno no denominador novamente para tirar o expoente negativo

$\displaystyle = \boxed{-\frac{1}{4} \left.\left( \frac{1}{sen^4(x)} \right) +C}$

Ou se preferir, sabemos que 1/seno é a mesma coisa que a cossecante
então

$\displaystyle = \boxed{-\frac{1}{4} csc^4 +C}$