Question

Resolva as integrais indefinidas:

c)∫㏑(㏑x)/x dx d)∫eˣ cosx dx

Answer 1

integral por partes
$\boxed{\boxed{\int U \; dV = UV-\int V\;du}} \\\\ \text{para a escolha do U adote a seguinte ordem }\\\\ \bmatrix Logaritimo\\ Inversas \;de\; trigonometricas\\Algebricas\\Trigonometricas\\Exponenciais \end$

aplicando isso:

$\int \frac{ln(ln(x))}{x}\; dx$

substituição
t=ln(x)
dt =(1/x)dx

substituindo na integral
$\int ln(t) \; dt$

aplicando a integral por partes
U= ln(t)
dU = 1/t dt

dV= dt
V = t
$\int ln(t) dt= ln(t)*t - \int t*\frac{1}{t} \;dt\\\\ \int ln(t) dt= ln(t)*t - \int \;dt\\\\ \int ln(t) dt= ln(t)*t - t\\\\ \boxed{\boxed{\int ln(t) dt= t(ln(t)-1) +C}}$

voltando pra variavel x

$\int \frac{ln(ln(x))}{x}\; dx = t*(ln(t)-1)+C\\\\ \boxed{\boxed{\int \frac{ln(ln(x))}{x}\; dx = ln(x)*[ln(ln(x))-1]+C}}$

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$\int e^{x}*cos(x)\;dx$

integrando por partes
U=cos(x)
dU = -sen(x) dx

dV = e^x dx
V =  e^x

$\int e^{x}*cos(x)\;dx = e^xcos(x) - \int (-sen(x))e^x \;dx \\\\\boxed{\boxed{ \int e^{x}*cos(x)\;dx = e^xcos(x) + \int sen(x)e^x \;dx}} \to \text{equacao 1}$

resolvendo a segunda integral que apareceu
U = sen(x)
dU = cos(x) 
dV = e^x
V = e^x 

$\boxed{\boxed{ \int sen(x)e^x \;dx = e^xsen(x) - \int e^xcos(x) dx}}$

substituindo o valor da integral na equação 1
$\int e^{x}*cos(x)\;dx = e^xcos(x) + \int sen(x)e^x \;dx}\\\\ \int e^{x}*cos(x)\;dx = e^xcos(x) + e^xsen(x) - \int e^xcos(x) dx\\\\ \int e^xcos(x) dx+ \int e^xcos(x) dx = e^xcos(x)+e^x sen(x)\\\\ 2 \int e^xcos(x) dx = e^x * [cos(x)+sen(x)]\\\\ \boxed{\boxed{ \int e^xcos(x) dx =\frac{ e^x * [cos(x)+sen(x)]}{2} + C }}$