Question

Resolva as integrais indefinidas:

a)∫sen³x cosx dx b)∫x³eˣdx

Answer 1

Olá

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A)

$\displaystyle \int sen^3(x)cos(x)dx$
Resolvendo por substituição u du
$u=sen(x) \\ du=cos(x)dx$
Substituindo na integral
$\displaystyle \int u^3du \\ \\ \\ = \frac{u^{3+1}}{3+1} ~=~ \frac{u^4}{4} \\ \\ \\ \text{Voltando com a variavel} \\ \\ \\ = \boxed{ \frac{sen^4(x)}{4}+C }$

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B)

$\displaystyle \int x^3 e^xdx$

Resolvendo a integral por partes, escolhendo o 'u' sempre pela regra do LIATE.

$\mathtt{u=x^3~~~~~~~ ~~~~~ ~~~~~ dv=e^xdx} \\ \mathtt{du=3x^2dx~~~~~~~ ~~~~~~~v=e^x}$
Note que o e^x era o nosso dv, então para encontrar o 'v', basta integrar o e^x, que é uma integral de tabela

Substituindo na fórmula de integrais por partes 

$\displystyle \boxed{\mathtt{\int udv =u\cdot v-\int vdu}}$

Para não ficar escrevendo a integral toda hora, irei chamar a integral de 'I'

$I=\displaystyle \int x^3e^xdx \\ \\ \\ I=x^3 e^x~-~\int e^x3x^2dx \\ \\ \\ \text{Tira a constante da integral} \\ \\ \\ I=x^3 e^x~-~3\int e^x\cdot x^2dx$

O objetivo de fazermos a integral por partes é que, quando fizermos, retorne uma integral mais fácil, bom, ficamos praticamente no mesmo lugar, apenas diminuiu o grau do expoente x, então temos que aplicar por partes novamente, e depois que encontramos, substituir nessa integral.

$\mathtt{u=x^2 ~~~ ~~ ~ ~~~~ ~~~~~~ ~dv=e^x} \\ \mathtt{du=2x~~~~~~~~ ~~~~~~ ~v=e^x}$

$\displaystyle x^2\cdot (e^x)~-~\int e^x \cdot 2xdx \\ \\ \\ \text{Tira a constante de dentro da integral} \\ \\ \\ x^2\cdot e^x~-~2\int e^x e^x xdx$

Substitui o que encontramos na integral

$\displaystyle I=x^3 e^x~-~3\int e^x\cdot x^2dx \\ \\ \\ I=x^3 e^x~-~3\left.\left(x^2\cdot e^x~+~2\int e^x \cdot xdx \,\right)$

Aplica a distributiva do 3

$\displaystyle I=x^3 e^x~+3x^2\cdot e^x~-~6\int e^x \cdot xdx$

Temos que aplicar a integral por partes novamente...

$\mathtt{u=x ~~~ ~~ ~ ~~~~ ~~~~~~ ~dv=e^x} \\ \mathtt{du=dx~~~~~~~~ ~~~~~~ ~v=e^x}$

$\displaystyle =x\cdot e^x ~-~\int e^x dx$
Substitui novamente na integral

$\displaystyle I=x^3 e^x~+3x^2\cdot e^x~-~6\int e^x \cdot xdx \\ \\ \\ I=x^3 e^x~+3x^2\cdot e^x~-~ 6\left.\left(x\cdot e^x ~-~\int e^xdx \,\right)$
Aplica a distributiva do 6
$\displaystyle I=x^3 e^x~+3x^2\cdot e^x~-~ 6x\cdot e^x +6\int e^xdx \\ \\ \\ \text{FINALMENTE podemos resolver a integral} \\ \\ \\ I=x^3 e^x~+3x^2\cdot e^x~-~ 6x\cdot e^x +6e^x \\ \\ \\ \text{Voltando com a integral no lugar do 'I'} \\ \\ \\ \boxed{\int x^3e^x=x^3 e^x~+3x^2\cdot e^x-6x\cdot e^x +6e^x+C}$