Question

Resolva as inequações:
$\frac{ {x}^{2} - x - 6}{ { - x}^{2} + 5x - 4 } > 0$
$( {x}^{2} + x - 6) \times ( {x}^{2} - 4x - 5) < 0$
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Answer 1

Resposta:

I)  x∈]-2;1[∪]3;4[

II) x∈]-3;-1[∪]2;5[

Explicação passo-a-passo:

I)

     Considerando (x²-x-6)/(-x²+5x-4) = f(x)/g(x) sabemos que f(x)/g(x) será maior do que 0 se as duas funções forem positivas simultaneamente ou se as funções forem negativas simultaneamente.

   - Encontrando as raízes:

f(x): x²-x-6                                                                g(x): -x² +5x -4

 x'+x"= 1 e x'.x"= -6                                                     x'+x"= 5 e x'.x"= 4  

   x'= -2  e  x"= 3                                                              x'=1 e  x"= 4

     Observando as funções veremos que f(x) é positiva se x∈ ]-∞;-2[ ∪ ]3;+∞[ e g(x) é positiva se x∈ ]1;4[. Já para serem negativo o x de f(x) precisa estar no intervalo onde x∈]-2;3[ e para g(x) x∈]-∞;1[∪]4;+∞].

     Com isso, basta achar a intersecção de quando os casos são positivos e quando são negativos.

• Funções positivos:

x∈]3;4[

• Funções negativos:

x∈]-2;1[

   - A união entre eles será nosso resultado.

x∈]-2;1[∪]3;4[

II)

     Grande parte do que foi feito para I será feito para a II, no entanto estamos procurando quando apenas uma das funções são positivas. Sendo (x²+x-6).(x²-4x-5)= f(x).g(x) .

   - Encontrando as raízes:

f(x): x²+x-6                                                                g(x): x² -4x -5

 x'+x"= -1 e x'.x"= -6                                                     x'+x"= 4 e x'.x"= -5  

   x'= 2  e  x"= -3                                                              x'=-1 e  x"= 5

     Observando as funções veremos que f(x) é positiva se x∈ ]-∞;-3[ ∪ ]2;+∞[ e g(x) é negativa se x∈ ]-1;5[. Já para f(x) ser negativa x∈]-3;2[ e para g(x) positiva x∈]-∞;-1[∪]5;+∞].

     Com isso, basta achar a intersecção de quando f(x) >0, g(x)<0 e f(x)<0, g(x)>0.

• f(x)>0, g(x)<0.

x∈]2;5[

• f(x)<0, g(x)>0.

x∈]-3;-1[

   - A união entre eles será nosso resultado.

x∈]-3;-1[∪]2;5[

Espero ter lhe ajudado.