Question

Resolva as inequações:

a) ( - x² + 2x - 3 ) > 0

b) ( - x² + 7x – 15 ) < 0

Obrigada!!

Answer 1

Vamos lá.

Veja, GabrielaDias, que a resolução é bem simples.
Antes note que uma equação do 2º grau, da forma ax² + bx + c = 0, com raízes reais  iguais a x' e x'', terá a seguinte variação de sinais:

i) A função terá o mesmo sinal do termo "a" (o termo "a" é o coeficiente de x²) para valores de "x" extrarraízes (fora das raízes), ou seja, para valores no seguinte intervalo: x < x' ou x > x''.
ii) A função terá sinal contrário ao do termo "a" para valores de "x" intrarraízes (entre as raízes), ou seja, para valores no seguinte intervalo:
 x' < x < x''.

Bem, visto esse breve introito, então vamos resolver as suas questões:

a) -x² + 2x - 3 > 0

Veja que a função acima não tem raízes reais, pois o seu delta (b²-4ac) é menor do que zero. Veja como é verdade: b²-4ac = 2² - 4*(-1)*(-3) = 4 - 12 = - 8 <--- Este será o delta que, como você mesma poderá concluir, é negativo e, como tal, a função não terá raízes reais.
E considerando que o termo "a" da função é negativo (menor do que zero), então essa função JAMAIS será maior do que zero, ou seja, JAMAIS teremos a situação dada, que é: -x²+2x-3 > 0.
Então, como a função não tem raízes reais, e considerando que ela tem o termo "a" negativo, logo ela será SEMPRE menor do que zero e JAMAIS maior do que zero, como está proposto [-x²+2x-3 > 0] <--- Esta situação NUNCA será alcançada para qualquer que seja o valor que "x" venha a assumir.

Para ficar mais explicativo, veja que a função dada, por não ter raízes reais e ter o seu termo "a" negativo, não terá variação de sinais, ou seja, o seu sinal será sempre negativo:

-x² + 2x - 3 .... - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ....

Veja: a função será SEMPRE negativa, para qualquer valor que "x" venha a assumir.

Dessa forma, você poderá apresentar o conjunto-solução da inequação dada da seguinte forma:

S = { } ou, o que é a mesma coisa: S = ∅ .


b) - x² + 7x - 15 < 0

A exemplo da função do item anterior, esta função também terá o seu delta (b²-4ac) menor do que zero, e, como tal não terá raízes reais. Veja como isso é verdade:
b² - 4ac = 7² - 4*(-1)*(-15) = 49 - 60 = - 11 <---- Como o delta é menor do que zero, e o seu termo "a" é negativo, então esta função será SEMPRE negativa para qualquer que seja o valor que "x" venha a assumir.

Assim, como está proposto que: -x²+7x-15 < 0, então para qualquer valor que "x" venha a assumir, a situação proposta será verdadeira.

Para ficar mais explicativo e a exemplo do que fizemos para a equação do item anterior, veja que esta função não terá variação de sinais (pois ela será sempre negativa):

-x²+7x-15 ... - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ....
 
Dessa forma, você poderá AFIRMAR que, para a função do item "b", a situação proposta (-x²+7x-15 < 0) será SEMPRE alcançada para qualquer valor de "x" real, o que poderá ser apresentado da seguinte forma, se quiser:

S = {x ∈ R}

Ou, também se quiser, o domínio da inequação dada poderá ser apresentada assim, o que significa o mesmo:

S = (-∞; +∞).

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.