Question

Resolva as inequações: (5x - 10) . (3x - 15) < 0

Answer 1

Vamos lá.

Veja, João Vitor, que a resolução é simples.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Tem-se a seguinte inequação-produto:

(5x-10)*(3x-15) < 0 ---- note que temos o produto entre duas equações do 1º grau, cujo resultado terá que ser negativo (ou < 0, o que é a mesma coisa).
Temos f(x) = 5x - 10 e temos g(x) = 3x - 15.

ii) Faremos o seguinte: encontraremos as raízes de cada uma das equações acima. Depois, em função de suas raízes, estudaremos a variação de sinais de cada uma delas. Finalmente, encontraremos qual é o conjunto-solução (ou o domínio) da inequação originalmente dada.
Assim, teremos:

f(x) = 5x - 10 ---> raízes: 5x-10 = 0 ---> 5x = 10 --> x = 10/5 --> x = 2
g(x) = 3x-15 ---> raízes: 3x-15 = 0 ---> 3x = 15 ---> x = 15/3 ---> x = 5

Agora vamos estudar a variação de sinais delas duas em função de suas raízes:

a) f(x) = 5x-10 ... - - - - - - - - (2) + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
b) g(x) = 3x-15... - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -  (5) + + + + + + + + + + + +
c) a*b................ + + + + + + (2) - - - - - - - - - -  (5) + + + + + + + + + + + +

Como queremos que o produto de f(x) * g(x) seja menor do que zero (negativo), então só nos vai interessar onde tiver sinal de menos no item "c" acima, que nos fornece o resultado do produto de f(x) por g(x). Assim, o intervalo que dá o conjunto-solução (ou o domínio) da inequação originalmente dada será este:

2 < x < 5 ---- Esta é a resposta.

Se você quiser, também poderá apresentar o conjunto-solução da seguinte forma, o que dá no mesmo:

S = {x ∈ R | 2 < x < 5}.

Ou ainda, também se quiser, o conjunto-solução poderia ser dado assim, o que é a mesma coisa:

S = (2; 5)  ou ]2; 5[ , o que é a mesma coisa.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.

Answer 2

É uma inequação produto. Resolva cada inequação em uma linha e verifique o sinal do produto na terceira.
5x-10<0
5x<10
x<2  primeira linha.

3x-15<0
3x<15
x<5 segunda linha
(5x-10)(3x-15) <0 terceira linha 2<x<5