Question

Resolva as equações trigonométricas a seguir para 0° < X < 360°:
a) 2. Sen x-1=0
b) 4 Tg²x -4 = 0
c) 2. Cos x + 2-0
d) 2sen²x - 6.senx - 8 = 0
e) Sec 2x = 2
f) Cos²x - Cos x = 0
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Answer 1

Bom dia ^-^

Informações Iniciais:

O X está entre 0° e 360°.

Letra A)

$2sen(x) -1=0$

$2sen(x)=1$

$sen(x)=\frac{1}{2}$

Existem dois ângulos para os quais o seno é 0,5 no intervalo entre 0° e 360°:

$sen(x)=sen(30)=sen(150)=0,5$

Solução:

$S=\{30^o, 150^o\}$

Em Radianos:

$S=\{\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6} \}$

Letra B)

$4tg^2(x)-4=0$

$tg^2(x)=1$

$tg(x)=1\: ou\: -1$

Sabemos que:

$tg(45)=tg(225)=1$

$tg(135)=tg(315)=-1$

Solução:

$S=\{45^o,135^o,225^o,315^o\}$

Em Radianos:

$S=\{\frac{\pi}{4} ,\frac{3\pi}{4},\frac{5\pi}{4},\frac{7\pi}{4} \}$

Letra C)

$2cos(x)+2=0$

$2cos(x)=-2$

$cos(x)=-1$

O único ângulo cujo cosseno é -1 entre 0° e 360° é 180°.

Solução:

$S=\{180^o\}$

Em Radianos:

$S=\{\pi \}$

Letra D)

$2sen^2(x)-6sen(x)-8=0$

Vamos chamar sen(x) de Y:

$2y^2 - 6y-8=0$

Encontrando as raízes:

$d=36+64=100$

$y=\frac{6\:+/-\:\sqrt{100} }{4}$

$y1=4 \: \: \: e \: \: \: y2=-1$

Sabemos que Y é sen(x), logo:

Para sen(x) = 4, não temos valores de ângulos entre 0° e 360°

Para sen(x) = -1, X = 270°

Solução:

$S=\{270\}$

Em Radianos:

$S=\{\frac{3\pi}{2} \}$

Letra E)

$sec(2x)=2$

$\frac{1}{cos(2x)}=2$

$cos(2x)=\frac{1}{2}$

Primeira Possibilidade:

$2x=60$

$x=30$

Segunda Possibilidade:

$2x=300$

$x=150$

Solução:

$S=\{30^o,150^o\}$

Em Radianos:

$S=\{\frac{\pi}{6},\frac{5 \pi}{6}\}$

Letra F)

$cos^2(x)-cos(x)=0$

Chamando cos(x) de K:

$k^2-k=0$

$k(k-1)=0$

Raízes:

$k=0\: \: \: ou \: \: \: k=1$

Para cos(x) = 0, X=90 ou X=270

Para cos(x)=1, X=0° ou X=360°

Olhe o enunciado: aqueles sinais são realmente sinais de "Maior e Menor", ou são de "Maior/Igual e Menor/Igual" ? Isto afetará a solução.

Se forem do jeito que está lá, 360 e 0 não entram na solução.

Solução:

$S=\{90^o,270^o\}$

Em Radianos:

$S=\{\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\}$

Perdão se cometi algum erro.