Question

Resolva as equações, sendo U=R:

a. x⁴+4x²-21=0
b. ∛11x+26 = 5
c. kx²-x-1-k = 0 (incógnita x)
d. √x²-1 = 2x -2

Answer 1

a)

• x² = u

$u^{2} +4u -21 = 0\\\\21|3\\ 7|7\\\\3 -7 = -4$

• x = ±√u

$x = \pm \sqrt{3} \quad , \quad \pm \sqrt{-7}$

x ∈ IR → {√3 , -√3}

b)

∛(11x) = 5 -26

11x = (-21)³

11x = -9261

x = -9261/11

c)

kx² -x -1 -k = 0

a = k , b = -1 , c = (-1 -k)

Δ = (-1)² -4 * (k) * (-1 -k)

= 1 -4k * (-1 -k)

= 1 +4k +4k²

= (1 +2k)²

x = [-(-1) ± √(1 +2k)²]/2k

x = [1 ± (1 +2k)]/2k

x' = [1 +1 +2k]/2k = [2(1 +k)]/2k = (1 +k)/k

x'' = [1 -1 -2k]/2k = -2k/2k = -1

x = -1

d)

√(x² -1) = 2x -2

x² -1 = 4x² -8x +4

3x² -8x +5 = 0

a = 3 ; b = -8 ; c = 5

Δ = (-8)² -4 * (3) * (5)

= 64 -60

= 4 → 2²

x = [-(-8) ± √(2²)]/(2 * 3)

x = [8 ± 2]/(2 * 3)

x = [4 ± 1]/3

x' = [4 +1]/3 = 5/3

x'' = [4 -1]/3 = 3/3 = 1

{5/3 ,  1}

Answer 2

Sabendo que o universo é o conjunto dos números reais as soluções das equações biquadradas, irracionais e literais são:

a) $S=\{-\sqrt{3},\sqrt{3}\}$;

b) $S=\{9\}$;

c) $S=\left\{-1,\dfrac{k+1}{k}\right\}$

d) $S=\left\{1,\dfrac{5}{3}\right\}$

Equações Biquadradas, Irracionais e Literais

Para resolvermos esta questão vamos aplicar alguns métodos diferentes:

• Biquadradas - Neste caso, utilizamos uma mudança de variável y = x², resolvemos a equação do segundo grau resultante e em seguida retornamos para a variável original x;

• Irracionais - Para este tipo de equação, elevamos ambos os membros por um expoente convenientemente escolhido a fim de eliminar o radical, resolvemos a equação resultante e se a mesma foi elevada a um expoente par é necessário verificar as soluções substituindo-as na equação original, pois neste método ao elevar a um expoente par podem ser geradas raízes estranhas a equação;

• Literais - Nesta situação em particular resolvemos normalmente, pois "k" é uma constante.

a) $x^4+4x^2-21=0$

Efetuamos inicialmente a mudança de variável y = x².

$y^2+4y-21=0$

Temos agora uma equação de segundo grau que vamos resolver pelo método de completar quadrados somando 25 em ambos os membros.

$y^2+4y-21+25=25\\\\y^2+4y+4=25\\\\(y+2)^2=25\\\\y+2=\pm 5\\\\y=-2\pm 5\Rightarrow y'=3 \ e \ y''=-7$

Retornando a variável original obtemos:

$\begin{cases}y=3\Rightarrow x^2=3\Rightarrow x=\pm \sqrt{3}\\y=-7\Rightarrow x^2=-7\Rightarrow x=\pm \sqrt{-7}\notin \mathbb{R}\end{cases}$

b) $\sqrt[3]{11x+26}=5$

Começamos elevando ao cubo para eliminar o radical.

$\sqrt[3]{11x+26}=5\\\\(\sqrt[3]{11x+26})^3=5^3\\\\11x+26=125\\\\11x=99\\\\x=\dfrac{99}{11}\\\\x=9$

Não há necessidade de verificar a solução pois elevamos a um expoente ímpar.

c) $kx^2-x-(1+k)=0$

Utilizando a fórmula resolutiva para equações de 2° grau teremos:

$\Delta=b^2-4ac\\\\\Delta=(-1)^2-4\cdot k\cdot (-1-k)\\\\\Delta=1+4k+4k^2\\\\\Delta=(1+2k)^2\\\\x=\dfrac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a}\\\\x=\dfrac{1\pm (1+2k)}{2k}\\\\x'=\dfrac{k+1}{k} \ e \ x''=-1$

d) $\sqrt{x^2-1}=2(x-1)$

Para resolver esta equação iremos elevar ambos os membros ao quadrado.

$\sqrt{x^2-1}=2(x-1)\\\\(\sqrt{x^2-1})^2=[2(x-1)]^2\\\\x^2-1=4(x-1)^2\\\\4(x-1)^2-(x-1)(x+1)=0\\\\(x-1)(4x-4-x-1)=0\\\\(x-1)(3x-5)=0\Rightarrow x'=1 \ e \ x''=\dfrac{5}{3}$

Neste caso, verificando ambos os valores obtidos são raízes da equação.

Para saber mais sobre Equações Biquadradas, Irracionais ou Literais acesse:

https://brainly.com.br/tarefa/44146930

https://brainly.com.br/tarefa/6142808

https://brainly.com.br/tarefa/30749849

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