Resolva as equações seguintes, considerando U = [0,2π[:
a) cos²x - sen²x = 0
b) cos²x + 2 - 3 . sen²x = 0
Soluções para a tarefa
Explicação passo-a-passo:
Considerando U = [0, 2pi [, temos:
a) — Primeira Resolução
cos²(x) - sen²(x) = 0 =>
cos(2x) = 0 =>
cos(2x) = cos(pi/2) =>
2x = pi/2 + 2kpi * =>
x = pi/4 + kpi (i)
ou
2x = - pi/2 + 2kpi =>
x = - pi/4 + kpi (ii)
De (i) temos as soluções:
x = pi/4
x = 5pi/4
De (ii) temos as soluções:
x = 3pi/4
x = 7pi/4
Com isso, o conjunto solução da equação no intervalo [0, 2pi [ é dado por:
S = {pi/4, 3pi/4, 5pi/4, 7pi/4}
a) — Segunda Resolução
cos²(x) - sen²(x) = 0 =>
sen²(x) = cos²(x) e cos²(x) é não nulo =>
sen²(x)/cos²(x) = cos²(x)/cos²(x) =>
tg²(x) = 1 =>
|tg(x)| = 1 =>
tg(x) = 1 => tg(x) = tg(pi/4) =>
x = pi/4 + kpi (iii)
ou
tg(x) = - 1 =>
tg(x) = tg(- pi/4) =>
x = - pi/4 + kpi (iv)
Com isso, no intervalo [0, 2pi [, as soluções serão:
S = {pi/4, 3pi/4, 5pi/4, 7pi/4}
a) — Terceira Resolução
cos²(x) - sen²(x) = 0 =>
[cos(x) + sen(x)][cos(x) - sen(x)] = 0 =>
cos(x) = - sen(x) e cos(x) é não nulo =>
cos(x)/cos(x) = - sen(x)/cos(x) =>
- tg(x) = 1 =>
tg(x) = - 1 =>
tg(x) = tg(- pi/4) =>
x = - pi/4 + kpi (v)
ou
cos(x) = sen(x) e cos(x) é não nulo =>
cos(x)/cos(x) = sen(x)/cos(x) =>
tg(x) = 1 =>
tg(x) = tg(pi/4) =>
x = pi/4 + kpi (vi)
De (v) e (vi), as soluções em [0, 2pi [ são:
S = {pi/4, 3pi/4, 5pi/4, 7pi/4}
a) — Quarta Resolução
cos²(x) - sen²(x) = 0 =>
[cos(x) + sen(x)][cos(x) - sen(x)] = 0 =>
[sen(pi/2 - x) + sen(x)][sen(pi/2 - x) - sen(x)] = 0 =>
2sen(pi/4)cos(pi/4 - x)2sen(pi/4 - x)cos(pi/4) = 0 =>
2sen(pi/4 - x)cos(pi/4 - x) = 0 =>
2sen[(pi/2 - 2x)/2]cos[(pi/2 - 2x)/2] = 0 =>
sen(pi/2 - 2x) = cos(2x) = 0 => Cai na primeira resolução =>
S = {pi/4, 3pi/4, 5pi/4, 7pi/4}
a) — Quinta resolução
cos²(x) - sen²(x) = 0 e sen²(x) + cos²(x) = 1 =>
cos²(x) - [1 - cos²(x)] = 0 =>
cos²(x) - 1 + cos²(x) = 0 =>
2cos²(x) = 1 =>
cos²(x) = 1/2 =>
|cos(x)| = cos(pi/4) =>
cos(x) = cos(pi/4) =>
x = pi/4 + 2kpi ou x = - pi/4 + 2kpi (vii)
ou
cos(x) = - cos(pi/4) =>
cos(x) = cos(3pi/4) =>
x = 3pi/4 + 2kpi ou x = - 3pi/4 + 2kpi (viii)
De (viii) e (vii) temos x = pi/4 + kpi ou x = - pi/4 + kpi. Logo:
S = {pi/4, 3pi/4, 5pi/4, 7pi/4}
Letra b) — Resolução
cos²(x) + 2 - 3sen²(x) = 0 e sen²(x) + cos²(x) = 1 (R.T.F.) =>
cos²(x) + 2 - 3[1 - cos²(x)] = 0 =>
cos²(x) + 2 - 3 + 3cos²(x) = 0 =>
4cos²(x) - 1 = 0 =>
4cos²(x) = 1 =>
cos²(x) = 1/4 =>
|cos(x)| = 1/2 =>
cos(x) = 1/2 => cos(x) = cos(pi/3) => x = pi/3 + 2kpi ou x = - pi/3 + 2kpi (ix)
ou
cos(x) = - 1/2 => cos(x) = cos(2pi/3) => x = 2pi/3 + 2kpi ou x = - 2pi/3 + 2kpi (x)
=> x = pi/3 + kpi ou x = - pi/3 + kpi
De (ix) e (x), temos que as soluções da equação, no intervalo [0, 2pi [, são dadas por:
S = {pi/3, 4pi/3, 2pi/3, 5pi/3}
* Não está especificado, mas a letra latina minúscula “k” representa um número inteiro arbitrário (inteiro qualquer), pois tratam-se de soluções trigonométricas gerais.
Abraços!!