Question

RESOLVA AS EQUAÇÕES IRRACIONAIS EM IR:

a) 1+3$\sqrt{ x^{2}-x}=x$
b) 1=x-$\sqrt{ x^{2}-11}$
c)$= \sqrt{ x^{2}+2x+1} = \sqrt{ 7x+1}$

Answer 1

Eae mano!

$1+3 \sqrt{ x^{2} -x}=x\\ 3 \sqrt{ x^{2} -x}=x-1\\ \sqrt{3^2( x^{2}-x)}=x-1\\ \sqrt{9( x^{2} -x)}=x-1\\ \sqrt{9 x^{2} -9x}=x-1\\ ( \sqrt{9 x^{2} -9x})~^2=(x-1)^2\\ 9 x^{2} -9x= x^{2} -2x+1\\ 9 x^{2}- x^{2} -9x+2x-1=0\\ 8 x^{2} -7x-1=0$

$\Delta=b^2-4ac\\ \Delta=(-7)^2-4*8*(-1)\\ \Delta=49+32\\ \Delta=81$

$x= \dfrac{-b\pm \sqrt{\Delta} }{2a}\\\\\\ x= \dfrac{-(-7)\pm \sqrt{81} }{2*8}\to~x= \dfrac{7\pm9}{16}\begin{cases}x'= \dfrac{7-9}{16}\to~x'= \dfrac{-2}{16}\to~x'=- \dfrac{1}{8}\\\\ x''= \dfrac{7+9}{16}\to~x''= \dfrac{16}{16}\to~x''=1 \end{cases}$

Fazendo a verificação com as raízes da equação do 2° grau, na equação irracional acima, temos:

para x= -1/8:

$1+3\sqrt{(- \dfrac{1}{8})^2-(- \dfrac{1}{8}) }=- \dfrac{1}{8}\\\\\\ 3 \sqrt{ \dfrac{1}{64}+ \dfrac{1}{8} }=- \dfrac{1}{8}-1\\\\\\ \sqrt{9* \dfrac{9}{64} }=- \dfrac{9}{8}\\\\\\ \sqrt{ \dfrac{81}{64} }=- \dfrac{9}{8}~~(falso)$

___________________

para x=1:

$1+3 \sqrt{ 1^{2} -1}=1\\ 3 \sqrt{1-1}=1-1\\ 3 \sqrt{0}=0~~(verdadeiro)$

Portanto, o conjunto verdade (V=IR):

$\boxed{S=\{1\}}$


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$1=x- \sqrt{ x^{2} -11}\\ x=1+ \sqrt{ x^{2} -11}\\ x-1= \sqrt{ x^{2} -11}\\ (x-1)^2=( \sqrt{ x^{2} -11})^2\\ x^{2} -2x+1= x^{2} -11\\ x^{2} - x^{2} -2x=-11-1\\ -2x=-12\\\\ x= \dfrac{-12}{-2}\\\\ x=6$

Testando na equação irracional, temos:

$6- \sqrt{ 6^{2} -11}=1\\ 6- \sqrt{36-11}=1\\ 6- \sqrt{25}=1\\ 6-5=1~~(verdadeiro)\\\\\\ \boxed{S=\{6\}}$


_________________________________

$\sqrt{ x^{2} +2x+1}= \sqrt{7x+1}\\ x^{2} +2x+1=7x+1\\ x^{2} +2x-7x+1-1=0\\ x^{2} -5x=0\\ x(x-5)=0\\\\ x'=0~~~~~~~~~~~x-5=0~\to~x''=5\\\\\\ \boxed{S=\{0,5\}}$

Espero ter ajudado e tenha ótimos estudos mano =))