Question

resolva as equações em ..

Answer 1

Olá vou ajudar!

a) $x^3-8=$

$x^3=8$

Teremos 3 raizes...


Vou resolver pela forma trigonometria Buscando as raizes, Vamos transformar x em um numero complexo para encontrar todas as raízes complexas.

$x^3=8.Cis0$

$Cis \alpha =Cos \alpha +iSen \alpha$


$3 \alpha =0+360K$

$\alpha = \frac{360k}{3}=120k$

Então o intervalo entre cada raiz e de 120°

Como o Modulo de x^3= 8 o modulo de x e 2...

$x=2.Cis(120k)$

x,=2.Cis(120)
x,=2[Cos120+isen120]

$x_,= \frac{2}{2}+ i( \frac{ \sqrt{3} }{2}.2)$

$x,=-1+ \sqrt{3}i$ (Primeira raiz..)

X,,=2.Cis(120.2)=2.Cis(240)

$x_{,,}=-1- \sqrt{3}i$

x,,,=2.Cis(120k.3)=2.Cis(360k)

x,,,=2


Raizes são ( -1-√3 , 2 , -1+√3 )

B)$x^2-i=0$

$x^2=i$

$x^2= \sqrt{-1}$

Vamos também transforar x em um numero complexo...

Modulo de (x.x) é:


$Ix^2I= \sqrt{a^2+b^2}$

Fazendo as contas o modulo desse numero complexo e 1...

Qual o argumento? Vamos utilizar o intervalo de 0° a 360°, para que x^2 seja igual a 1, temos que ter que o angulo tem cosseno igual a 0 e seno igual a 1... Então o ângulo e 90°

$2 \alpha =90+360K$

$\alpha =45+180K$

Temos então 2 intervalos de (45 + 180k) nesses intervalos temos as raizes.

$x^2=1.[Cos(90)+iSen(90)]$

$x=1.[Cos(45+180k)+iSen(45+180k)]$

Vamos procurar o x,..... O "X," vamos usar k=0 então o argumento desse numero complexo e 45°

$x_,=1.(Cos45+iSen45)$

$X_,= \frac{ \sqrt{2} }{2}+i\frac{ \sqrt{2} }{2}$

x,, sera 45+180° ou seja 225° , cujo o seno e - seno 45 ... E cosseno e -cos45°

$x,,= 1 [ Cos225+iSen225]$

$x_{,,}=- \frac{ \sqrt{2} }{2}-i \frac{ \sqrt{2} }{2}$

Raizes { √2/2)+(√2/2)i , -(√2/2)-(√2/2)i }

C)Vamos usar o mesmo modulo mais vou adiantar os calculos..

IX^4I = 1
β=180°

4α=180°+360k

α=45+90°

Soluções: { $\frac{ \sqrt{2} }{2}+ \frac{ \sqrt{2} }{2}i,\frac{ \sqrt{2} }{2}- \frac{ \sqrt{2} }{2}i , \frac{- \sqrt{2} }{2}+ \frac{ \sqrt{2} }{2}i , \frac{ -\sqrt{2} }{2}- \frac{ \sqrt{2} }{2}i$ }

D)$x^4=i$
Ix^4I= 1
Argumento 90°

Argumento de x=22,5+90k
Modulo de x = 1

Soluções Serão:{ x=1( Cos(22,5+90k)+isen(22,5+90k) }

Substitua com k ∈ N começando pelo 0...

Letra "e" Responderei quando voltar aguarde um pouco por favor...

e) X^6+729=0

x^6=-729

Argumento :

6α=180+360k
α=30+60K

MODULO:

729 = I x I ^6

I x I=  √∛729

I x I = 3

x=3.[Cos(30+60k)+iSen(30+60k)]

x,=3[Cos30+iSen30]

$x,= \frac{3 \sqrt{3} }{2}+ \frac{3}{2}i$

x,,=3[Cos90+iSen90]

x,,=3i

X3=3[Cos150+iSen150]

$x_3= -\frac{3 \sqrt{3} }{2} + \frac{3}{2}i$

$x_4= -\frac{3 \sqrt{3} }{2} - \frac{3}{2}i$

$x_5= 3(Cos270+iSen270)= -3i$

$x_6=\frac{3 \sqrt{3} }{2} - \frac{3}{2}i$

Espero ter ajudado!