Question

Resolva as equações diferenciais e calcule o limite quando t → ∞ das soluções.
(a) dv/dt = −3(v − 10).
(b) dy/dt = 2y − 10, y(0) = 0.

Answer 1

Olá, siga a explicação:

Adotei dx/dy, mas caso queria adotar limite eu posso reescrever.

Pois há também:

$\dfrac{df}{dt} =\displaystyle \lim_{h \to 0} \dfrac{f(t+h)-f(t)}{h}$

Ok? Obrigado!

1° Questão:

Aderindo a equação diferencial com separação de variáveis:

$\dfrac{dv}{dt} = -3(v-10) \\ \\dv= -3(v-10) dt \\ \\ \displaystyle \int {\dfrac{dv}{v} } = \displaystyle \int {(-3 \centerdot -10) dt } \\ \\In \mid v \mid = -30t + C \\ \\ log_ e \mid v \mid = -30t + C \\ \\ \mid v \mid= e ^{-30t+C}$

Sendo a relação:

$a^{n+m} = a^{n} \centerdot a^{m}$

Contemos:

$\mid v \mid= e ^{-30t} \centerdot e^c$

Temos de:

$\boxed {\boxed { e^c=K } }$

Logo:

$\mid v \mid= K \centerdot e ^{-30t}$

$\boxed { \mid v \mid = \pm v }$

$v= K \centerdot e ^{-30t}$

2° Questão:

Aderindo a equação diferencial com separação de variáveis:

$\displaystyle \left \{ {{\dfrac{dv}{dt} =2y-10 } \atop {y=(0)=0} \longrightarrow \boxed {{y=0} \atop {\displaystyle t=0}}} \right. \\ \\ \\ \dfrac{dy}{dt} = 2y-10 \\ \\ dy= (2y-10) dt \\ \\\displaystyle \int \dfrac{dy}{2y-10} = \displaystyle \int dt \\ \\u= 2y-10 \\du= 2dy$

Prosseguindo:

$\dfrac{1}{2} ln \mid 2y-10 \mid = c \\ \\log_e \mid 2y-10 \mid = 2c \\ \\\boxed {2c=c} \\\\log_e \mid 2y-10 \mid = c \\ \\\boxed {log _a N=x \longrightarrow N=a^x} \\ \\\mid 2y-10 \mid = e^{c} \\ \\2y= K+2 \\ \\y= \dfrac{K}{2} - \dfrac{2}{2} \\ \\\boxed{\frac{k}{2} = k} \\ \\y= k-1 \\ \\0= k-1 \\0+1= k \\\boxed {c=1} \\ \\ \boxed {\boxed {y= k-1 } } \longrightarrow \boxed {y= 1-1=0 }$

• Att. MatiasHP