Question

Resolva as equações de 2° grau incompleta

a)
$x { }^{2} - 8x = 0$

b)
$y {}^{2} - \sqrt{49 = 0}$

c)
$2a {}^{2} + 3b = 0$

d
$y {}^{2} - 25 = 0$

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Answer 1

Resposta:

a) $x = 0\text{ e } x = 8.$

b) $y = \pm 7$

c) $a = \sqrt{\frac{-3b}{2}}.$

d) $y = \pm 5.$

Explicação passo a passo:

a)

Aqui não temos o termo independente. Então é bem simples: basta colocar o "x" em evidência.

Um exemplo pra vc entender: $2\times 3 + 2\times 5 = 2\times(3 + 5)$

Veja que os dois lados da igualdade fornecem o mesmo valor: 6 + 10 = 16 do lado esquerdo, e 2 x 8 = 16 do lado direito.

Então sempre que temos fatores em comum, podemos colocar em evidência. Isso vem da propriedade distributiva.

Logo, $x\cdot x - 8 \cdot x = 0\implies x\cdot (x - 8) = 0.$

Existem duas soluções. Em outras palavras, tudo o que você precisa se lembrar aqui é da tabuada do zero :P

Então a pergunta é: qual número multiplicado por qualquer outro dá zero? Sabemos que zero vezes qualquer coisa é sempre zero. Então a primeira resposta é $x = 0$, pois $0\cdot (x - 8) = 0$.

A segunda solução é para o caso em que x NÃO É zero e aí sobra só uma opção: o termo entre parênteses é que tem que dar zero.

Matematicamente: $x\cdot 0 = 0$ ou ainda, $x - 8 = 0\implies x = 8.$

Assim, 0 e 8 são as duas soluções. Veja o motivo: substituindo x = 0 na equação dada, temos: $0^2 - 8\cdot 0 = 0$ e substituindo x = 8, temos: $8^2 - 8\cdot 8 = 0$.

Nenhum outro número satisfaz à equação.

b) A equação está escrita incorretamente. O certo seria: $y^2 - \sqrt{49} = 0$.

Neste caso, sabemos que $\sqrt{49} = 7$. Então, como não temos o termo linear nesta equação, basta isolar o y direto:

$y^2 = 7$ e portanto, $y = \pm 7$.

c) Como assume-se, do enunciado, que as eqs. são do segundo grau, ela só pode ser na variável "a", que está elevada ao quadrado. Neste caso, basta isolar o "a", mandando o 3b para o outro lado da equação e depois o 2, que está multiplicando e vai dividindo:

$2a^2 = -3b\implies a^2 = -\frac{3b}{2}$

Extraindo a raiz quadrada de ambos os lados, tendo em mente que estamos resolvendo uma eq. do segundo grau e, portanto, temos duas soluções, vem:

$a = \pm \sqrt{-\frac{3b}{2}}$.

Se b < 0, então temos soluções reais. Caso contrário, teremos soluções complexas.

d) Basta enviar o -25 para o lado direito da equação e extrair a raiz quadrada:

$y^2 = 25\implies y = \pm 5.$