Question

Resolva as equações:
1- log2(x − 2) + log2(x − 3) = 1
2- 5^x2⋅ 5^−4x = 3125
3- 2log₂(x + 9) = 3 + log₂(x + 7)
4- d. 5 ⋅ 25ˣ − 6 ⋅ 5ˣ + 1 = 0

Answer 1

Resposta:

1 ) S = { 4 }            2 )  S = { - 1 ; 5 }      3 ) S = { - 5 }          4 ) S = { - 1 ; 0 }

Explicação passo a passo:

1 )

Primeira regra:

$log_{a} (b) = x$          é igual a      $b=a^x$

Lê-se :

Logaritmo de "b" , na base "a" é "x"

b = logaritmando

a = base em que estamos a trabalhar

x = logaritmo

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Início de cálculos

$log_{2} (x-2)+log_{2} (x-3)=1$

$log_{2} ((x-2)*(x-3))=1$               (a)

$log_{2} (x*x-x*3-2*x+2*3)=1$

$log_{2} (x^2-5x+6)=1$

$x^2-5x+6=2^1$             ( b )

x² - 5x + 6 - 2 = 0            equação do 2º grau

x² - 5x + 4 = 0

Fórmula de Bhaskara

x = ( - b ± √Δ ) /( 2 * a )               Δ = b² - 4 * a * c            a ≠ 0

a = 1

b = - 5

c = 4

Δ = ( - 5 )² - 4 * 1 * 4 = 25 - 16 = 9

√Δ = √9 = 3

x1 = ( - ( - 5 ) + 3 ) / (2 * 1 )

x1 = ( + 5 + 3 ) / 2

x1 = 8/2

x1 = 4

x2 = ( - ( - 5 ) - 3 ) / (2 * 1 )

x2 = ( + 5 - 3 ) /2

x2 = 2/2

x2 = 1

Obtivemos duas soluções que necessitam de ser testadas na equação

original.

Para x = 4

$log_{2} (4-2)+log_{2} (4-3)=1$

$log_{2} (2)+log_{2} (1)=1$

1 + 0 = 1    verdadeiro    então x = 4 é uma solução      

Para  x = 1

$log_{2} (1-2)+log_{2} (1-3)=1$

$log_{2} (-1)+log_{2} (-2)=1$

Impossível , pois não há logaritmos de valores negativos.

x = 1 não é solução

S = { 4 }

2 )

$5^{x^{2} } *5^{(-4x)} =3125$  

$5^{(x^{2}+(-4x))} } =5^5$          ( c )     ( d )

Potências  com a mesma base, são iguais se os expoentes forem iguais

entre si.

x² - 4x = 5

x² - 4x - 5 = 0   ( usar Fórmula de Bhaskara )

a = 1

b = - 4

c = - 5

Δ = ( - 4 )² - 4 * 1 * ( - 5 ) = 16 + 20 = 36

√Δ = √36 = 6

x1 = ( - ( - 4 ) + 6 ) /( 2 * 1 )

x1 = ( + 4 + 6 ) / 2

x1 = 10 /2

x1 = 5

x2 =  ( - ( - 4 ) -  6 ) /( 2 * 1 )

x2 = ( + 4 - 6 ) / 2

x2 = - 2 /2

x2 = - 1

Verificação

Para x = 5

$5^{5^{2} } *5^{(-4*5)} =5^5$

$5^{25} *5^{(-20)} =5^5$

$5^{25+(-20)} =5^5$

$5^5=5^5$               verdadeiro ; x = 5 é raiz        

Para x = - 1

$5^{(- 1)^2 } *5^{(-4*(-1))} =5^5$

$5^1 *5^4=5^5$

$5^{(1+4)} =5^5$

$5^5=5^5$               verdadeiro ; x = - 1 é raiz

S = { - 1 ; 5 }

3 )

$2*log_{2} (x+9)=3+ log_{2} (x+7)$      

$log_{2} (x+9)^2=log_{2} (8)+ log_{2} (x+7)$         ( e )

$log_{2} (x+9)^2=log_{2} (8*(x+7))$

( x + 9 )² = 8 * ( x + 7 )                                ( f )

x² + 2 * x * 9 + 9² = 8x + 56

x² + 18x - 8x + 81 - 56 = 0

x² + 10x + 25 = 0

( x + 5 )² = 0

x + 5 = √0

x = - 5

S = { - 5 }

4 )

$5*25^{x} -6*5^x+1=0$                   ( g )

$5*(5^2)^{x} -6*5^x+1=0$

$5*(5^x)^{2} -6*5^x+1=0$                 ( h )

Fazer substituição de variável

$5^x = t$

5 * t² - 6 * t + 1 = 0

5t² - 6t + 1 = 0

a = 5

b = - 6

c = 1

Δ = ( - 6 )² - 4 * 5 * 1 = 36 - 20 = 16

√Δ = √16 = 4

t1 = (- ( - 6 ) + 4 ) / ( 2 * 5 )

t1 = ( + 6 + 4 ) / 10

t1 = 10 / 10

t1 =  1

t2 = (- ( - 6 ) - 4 ) / ( 2 * 5 )

t2 = ( + 6 - 4 ) / 10

t2 = 2/10

t2 = 1/5

Voltando à variável inicial

Para t = 1

$5^x = 1$

$5^x = 5^0$

x = 0

Para t = 1/5

$5^x = \dfrac{1}{5}$

$5^x = 5^{-1}$  

x = - 1

S = { - 1 ; 0 }

Fim de cálculos.

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Regras para entender porque se resolveu assim:

(a) Quando estamos a somar dois logaritmos, na mesma base, isso é igual

ao logaritmo do produto dos logaritmandos.

Exemplo:

$log_{3} (5) + log_{3} (7) =log_{3} (5*7) =log_{3} (35)$

(b) pela Regra Primeira

(c) Multiplicação de potências com a mesma base → Mantém-se a base e

adicionam-se os expoentes

(d) fazendo a decomposição em fatores encontra-se que $3125=5^5$

( e ) temos o valor 3 e queremos passá-lo para a forma de logaritmo na

base 2.

Usando a 1ª regra

$log_{2}(?)=3$

$log_{2}(8)=3$

pois

8 = 2³

desta maneira ficamos só com logaritmos de base igual e podemos aplicar

as regras das operações nesta matéria

( f ) Dois logaritmos, na mesma base , são iguais quando os logaritmandos

são iguais , entre si.

( g ) Neste caso é de ter em atenção que potência de potência é igual a

manter a base e multiplicar os expoentes

$(25)^x=(5^2)^{x}$

Ter em atenção que podemos, porque nos interessa ter

$(5^2)^{x}=(5^x)^2$

Em ambos os casos dá $25^x$

( h ) A substituição de variável é usada aqui , porque transforma a

equação existente numa fácil equação do 2º grau.

É um dos métodos para resolver alguns casos de funções exponenciais

( são aquelas em que a variável, x, aparece no expoente de potências )

Bons estudos.

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( * ) multiplicação     ( / ) divisão  

(  $log_{a} (b) = x$      é igual a      $b=a^x$   )     muito importante

Nas minhas respostas mostro e explico os passos dados na resolução, para

que o usuário seja capaz de aprender e depois fazer, por ele, em casos

idênticos.

O que eu sei, eu ensino.