Question

Resolva as desigualdades e expresse o conjunto solução na forma de intervalo:

f)
 _1_ <  _2_
(x+1)   (3x - 1)

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Giovanna, que a resolução é simples.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Pede-se o intervalo real que dá o conjunto-solução da seguinte inequação:

1/(x+1) < 2/(3x-1) ----- vamos passar o 2º membro para o 1º, ficando:
1/(x+1) - 2/(3x-1) < 0 ---- veja que o mmc = (x+1)*(3x-1). Assim, utilizando-o no 1º membro, teremos (lembre-se: toma-se o mmc e divide-se pelo denominador; o resultado que der multiplica-se pelo numerador):

[(3x-1)*1 - (x+1)*2]/(x+1)*(3x-1) < 0 ---- desenvolvendo o numerador, ficaremos com:

[(3x-1) - (2x+2)] / (x+1)*(3x-1) < 0 --- retirando-se os os parênteses do numerador, iremos ficar apenas com:

[3x-1 - 2x - 2]/(x+1)*(3x-1) < 0 ---- reduzindo os termos semelhantes:
[x - 3]/(x+1)*(3x-1) < 0 --- ou apenas:
(x-3)/(x+1)*(3x-1) < 0

ii) Agora note que temos uma inequação-quociente formado por 3 equações do 1º grau, sendo uma delas no numerador e o produto das outras duas no denominador. Temos isto: f(x) = x-3; g(x) = x+1 e h(x) = 3x-1.
Agora vamos encontrar as raízes de cada equação e depois, em função de suas raízes, encontraremos a variação de sinais de cada uma delas.
Assim teremos:

f(x) = x-3 --> raízes: x-3 = 0 ---> x = 3
g(x) = x+1 --> raízes: x+1 = 0 ---> x = -1
h(x) = 3x-1 ---> raízes: 3x-1 = 0 ---> 3x = 1 --> x = 1/3.

Agora vamos estudar a variação de sinais de cada uma delas e depois daremos o intervalo do conjunto-solução desta inequação-quociente:

a) f(x) = x - 3 .... - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -  (3) + + + + + + + +
b) g(x) = x + 1 .... - - - - - - - - (-1) + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
c) h(x) = 3x-1.... - - - - - - - - - - - - - - - - (1/3) + + + + + + + + + + + + + +
d) a/b*c ......... - - - - - - - - - - (-1) + + + (1/3) - - - - - - (3) + + + + + + + +

Como queremos que a inequação-quociente seja negativa (< 0) então só vamos nos preocupar com o que deu sinal de menos no item "d" acima, que nos fornece o resultado da divisão de f(x) pelo produto de g(x)*h(x). Assim, o conjunto-solução será o seguinte intervalo:

x < -1, ou 1/3 < x < 3 ----- Esta é a resposta.

Se você quiser, também poderá expressar o conjunto-solução da seguinte forma o que dá no mesmo:

S = (-∞; -1) ∪ (1/3; 3).

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.