Question

Resolva analiticamente o seguinte sistema de equações:
$\begin{cases}x+y=xyz\\y+z=xyz\\x+z=xyz\end{cases}$

Answer 1

Realizando os cálculos, encontramos que o conjunto solução da questão é:

$\boxed{\large \displaystyle \text { \mathsf{S = (0, 0, 0), (\sqrt{2},\sqrt{2},\sqrt{2}),(-\sqrt{2},-\sqrt{2},-\sqrt{2})} }}$

Resolução do exercício

Temos o seguinte sistema de equações:

$\large \displaystyle \text { \mathsf{\left\{\begin{matrix}x+y=xyz\\y+ z = xyz\\ x + z= xyz\end{matrix}\right.} }$

Como o monômio "xyz" está presente em todas as equações do sistema, podemos estabelecer as seguintes relações:

$\large \displaystyle \mathsf{x + y = y + z}\\\boxed{\large \displaystyle \mathsf{x = z}}\\\\\large \displaystyle \mathsf{x + y = x + z}\\\boxed{\large \displaystyle \mathsf{y = z}}\\\\\large \displaystyle \mathsf{y + z = x + z}\\\boxed{\large \displaystyle \mathsf{y = x}}\\\\\boxed{\large \displaystyle \mathsf{x = y = z}}$

Sendo x = y = z, temos:

$\large \displaystyle \mathsf{x + y = xyz}\\\large \displaystyle \mathsf{x + x = x.x. x}\\\large\displaystyle\text{ \mathsf{2x=x^{3}} }\\\large \displaystyle \text { \mathsf{2x - x^{3} = 0} }$

Colocando o fator comum "x" em evidência:

$\large \displaystyle \text { \mathsf{2x - x^{3} = 0} }\\\large \displaystyle \text { \mathsf{-x^{3} + 2x = 0~~~\rightarrow~multiplique~por~ -1} }\\\large \displaystyle \text { \mathsf{x^{3} - 2x = 0} }\\\large \displaystyle \text { \mathsf{x(x^{2} - 2) = 0} }$

Encontrando os valores que tornam a igualdade verdadeira:

$\large \displaystyle\text{ \mathsf{x(x^{2} - 2)\left\{\begin{matrix}\boxed{x=0}\\x^{2}- 2=0\end{matrix}\right.} }\\\\\\\large\displaystyle\text { \mathsf{x^{2} - 2 = 0} }\\\large \displaystyle \text { \mathsf{x^{2}= 2} }\\\boxed{\large \displaystyle \text { \mathsf{x = \pm\sqrt{2}} }}$

Por fim, temos que o conjunto solução é:

$\boxed{\boxed{\boxed{\large \displaystyle \text { \mathsf{S = (0, 0, 0), (\sqrt{2}, \sqrt{2} , \sqrt{2} ), (-\sqrt{2},-\sqrt{2},-\sqrt{2})} }}}}$

⭐ Espero ter ajudado! ⭐

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