Question

Resolva analiticamente a seguinte equação:

$e^x+e^{-x}=0\quad \text{, com }\;x\in\mathbb{C}$

Answer 1

Resposta: A partir dos dados fornecidos pelo problema e dos devidos cálculos que realizaremos, podemos concluir que o valor de x que satisfaz esta equação é iπ/2.

Queremos encontrar um valor de x que satisfaça esta condição:

$\boxed{\bf e^x +e^{-x} =0}$

Para encontrar o valor de x que dá a solução para este problema, é necessário aplicar algumas propriedades de exponenciais, então primeiro vamos enviar algum exponencial para a outra parte da equação, enviamos o exponencial menos "x" de la outra parte:

$e^x +e^{-x} - e^{-x}= 0-e^{-x}\\\\\\ e^x = - e^{-x}$

Aplicamos o logaritmo natural em ambas as partes da equação para poder despejar a variável "x":

$\ell n\left(e^x\right) = \ell n \left(- e^{-x}\right)$

Vamos lembrar que o logaritmo natural de uma exponencial é igual a 1, mas vamos prestar atenção no logaritmo natural da exponencial negativa, alguns pensariam que o logaritmo natural de um número negativo é o mesmo que o logaritmo natural do mesmo número mas positivo apenas com a diferença que adicionamos o sinal negativo, mas não realmente, pois o logaritmo natural de um número negativo não existe ou existe?

Mais tarde vamos resolver esta questão, mas primeiro vamos aplicar as propriedades dos logaritmos, vamos tentar simplificar o logaritmo natural de menos o exponencial o número de Euler então vamos lembrar que por propriedades o logaritmo de um produto é igual à soma dos logaritmos dos fatores.

Para simplificar, lembre-se que todo número negativo multiplicado por um número positivo resulta em um número negativo e todo número multiplicado por 1 dá o mesmo número, então todo número positivo multiplicado por -1 dá o mesmo número, mas com um sinal diferente. Então o logaritmo natural de exponencial mas negativo por propriedades de logaritmos pode ser reescrito como:

$x=\ell n\left( -1\right)+ \ell n \left(e^{-x}\right)\\\\\\ x=\ell n\left( -1\right)- x\\\\\\ x+ x=\ell n\left(-1\right) \\\\\\ 2x=\ell n\left(-1\right)$

Agora, novamente, voltamos à pergunta anterior, existe o logaritmo natural de um número negativo? Sim, e para encontrar o logaritmo natural desse número negativo podemos recorrer à identidade de Euler cuja expressão é:

$\boxed{\bf e^{i\pi } +1=0 }$

Vamos ver o que acontece se isolarmos a exponencial de iπ nesta expressão:

$e^{i\pi}+1-1 =0-1\\\\\\ e^{i\pi}=-1$

Vamos aplicar o logaritmo natural novamente em ambas as partes da equação apenas para preservar essa igualdade:

$\ell n\left(e^{i\pi}\right)=\ell n\left(-1\right)\\\\\\ i\pi =\ell n\left(-1\right)$

Podemos ver que o logaritmo natural de menos um é igual a iπ.

Voltando à equação podemos ver que sua solução é igual a:

$\boxed{\sf x =\dfrac{i\pi}{2},~com~x\in\mathbb{C}}\quad\longleftarrow\quad\mathsf {Resposta!!}$

Conclusão: Após os cálculos, chegamos à conclusão que o valor de x para esta equação é iπ/2 sendo i um número imaginário.