Question

Resolva a seguinte integral:

$\displaystyle \mathsf{ \int_{0}^{5} | x^2 - 1 | \, \, dx }$

Por favor, de forma bem detalhada e exemplificada.

Answer 1

Resolução da questão, veja:

Nessa integral os zeros de x² - 1 no domínio de integração são x = 1. Uma vez que o sinal de x² - 1 é o mesmo entre os dois zeros, vamos integrar essas regiões separadamente aplicando o valor absoluto, observe:

$\displaystyle \mathsf{ \int_{0}^{5} | x^2 - 1 | \, \, dx } \\ \\ \\ \left|\displaystyle \mathsf{ \int_{0}^{1} (x^2-1) \, \, dx \right|} + \left|\displaystyle \mathsf{ \int_{1}^{5} (x^2-1) \, \, dx \right|}}\\ \\ \\ \left|\displaystyle \mathsf{ \int_{0}^{1} (x^2) \, \, dx - \displaystyle \int_{0}^{1} 1 \, \, dx \right|} + \left|\displaystyle \mathsf{ \int_{1}^{5} (x^2-1) \, \, dx \right|}}$

Aplicando o T.F.C., temos:

$\left|\displaystyle \mathsf{ \int_{0}^{1} (x^2) \, \, dx - \displaystyle \int_{0}^{1} 1 \, \, dx \right|} + \left|\displaystyle \mathsf{ \int_{1}^{5} (x^2-1) \, \, dx \right|}\\ \\ \\ \left|\mathsf{(-x)\bigg|_{0}^{1} + \displaystyle \int_{0}^{1} x^2 \, \, dx \right|}} + \left|\displaystyle \mathsf{ \int_{1}^{5} (x^2-1) \, \, dx \right|}}\\ \\ \\ \left| \displaystyle \mathsf{ \int_{0}^{1} x^2 \, \, dx-1 \right|} + \left| \displaystyle \mathsf{ \int_{1}^{5} (x^2-1) \, \, dx \right|}}\\ \\ \\ \left| \mathsf{\dfrac{x^3}{3}\bigg|_{0}^{1} - 1\right|} + \left| \displaystyle \mathsf{ \int_{1}^{5} (x^2-1) \, \, dx \right|}}\\ \\ \\ \left| \dfrac{1}{3} - 1\right|} + \left| \displaystyle \mathsf{ \int_{1}^{5} (x^2-1) \, \, dx \right|}}\\ \\ \\ \mathsf{ \dfrac{2}{3} + \left| \displaystyle \mathsf{ \int_{1}^{5} (x^2-1) \, \, dx \right|}}}\\ \\ \\ \mathsf{ \dfrac{2}{3} + \left| \dfrac{124}{3} - 4 \right|}\\ \\ \\ \mathsf{ \dfrac{2}{3} + \dfrac{112}{3}}\\ \\ \\ \mathsf{ \dfrac{114}{3}}}\\ \\ \\ \Large\boxed{\nathsf{38}}}}}}}}}}~~\checkmark}}$

Espero que te ajude (^.^)