Resolva a seguinte integral: ∫sen(x) e× dx
Soluções para a tarefa
∫sen(x) e× =
Pela regra de integração por partes:
∫sen(x) e× = f(x) * g(x) - ∫f'(x)*g(x)
f= sen(x)
f'= cos(x)
g'= e×
g= e×
Então:
∫sen(x) e× = sen(x)*e× - ∫cos(x)*e×
Como temos ∫cos(x)*e×, devemos fazer sua integral:
∫cos(x)*e× = f(x) * g(x) - ∫f'(x)*g(x)
f= cos(x)
f'= -sen(x)
g'= e×
g= e×
Então:
∫cos(x) e× = cos(x)*e× - ∫-sen(x)*e×
∫cos(x) e× = cos(x)*e× + ∫sen(x)*e×
Colocando isso na expressão, ficamos com:
∫sen(x) e× = sen(x)*e× - (cos(x)*e× + ∫sen(x)*e×)
∫sen(x) e× = sen(x)*e× - cos(x)*e× - ∫sen(x)*e×
Temos agora duas integrais não resolvidas, contudo, as duas são iguais. Assim, ao isolarmos elas obteremos:
∫sen(x) e× = sen(x)*e× - cos(x)*e× - ∫sen(x)*e×
∫sen(x) e× + ∫sen(x)*e×= sen(x)*e× - cos(x)*e×
2∫sen(x) e× = sen(x)*e× - cos(x)*e×
∫sen(x) e× = (sen(x)*e× - cos(x)*e×)/2
Espero ter ajudado! ;)