Question

Resolva a seguinte inequação:
$log(2) ^{( {x}^{2} + x - 2)} \leqslant 2$
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Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Inequačão Logaritmica

$\sf{ \log_{2} (x^2 + x - 2) \leq 2 }$

1.Vamos achar o domínio da Inequačão :

$\sf{ x^2 + x - 2 > 0 }$

Vamos resolver a Inequačão pelo método Geométrico :

$\sf{ x^2 - x + 2x - 2 ~=~0 }$

$\sf{ x(x - 1) + 2(x - 1)~=~0 }$

$\sf{ (x + 2)(x - 1) ~=~0 }$

$\green{ \sf{ x_{1}~=~-2~\vee~x_{2}~=~1 } }$

Ao tračar-se um gráfico, veremos que :

$\sf{ x\in ]-\infty ; -2[ \bigcup ]1 ; +\infty [ }$

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Agora vamos calcular a Inequačão :

$\sf{ \log_{2} (x^2 + x - 2) \leq \log_{2} 4 }$

$\sf{ x^2 + x - 2 \leq 4 }$

$\sf{ x^2 +x - 2 - 4 \leq 0 }$

$\red{\sf{ x^2 + x - 6 \leq 0 }}$

$\sf{ x^2 - 2x + 3x - 6 ~=~0 }$

$\sf{ x(x - 2) + 3(x - 2) ~=~0 }$

$\sf{ (x + 3)(x - 2)~=~0 }$

$\sf{ x_{1}~=~-3 \vee~x_{2}~=~2 }$

Ao tračar-se um gráfico , teremos que :

$\sf{ Sol_{1}~= x\in [ -3 ; 2] }$

Então para achar a solução geral, basta fazer a intersecção do domínio com a solução 1 :

$\sf{ Sol_{geral}~=~ x\in \left( ]-\infty ; -2[ \bigcup ]1 ; +\infty [ \right) \bigcap \left( [ -3 ; 2 ] \right) }$

$\green{ \sf{ Sol_{geral}~=~x\in [ -3, -2 [ \bigcup ]1 ; 2] } }$

Espero ter ajudado bastante!)