Question

Resolva a seguinte equação: $2^{x-1}+2^{x}+2^{x+1}-2^{x+2}+2^{x+3}=120$

Answer 1

Olá,

Temos a equação:

$\tt \: {2}^{x - 1} + {2}^{x} + {2}^{x + 1} - {2}^{x + 2} + {2}^{x + 3} = 120$

Podemos usar a seguinte propriedade para transformar as potências:

$\boxed{ \tt \: {a}^{m + n} = {a}^{m} \cdot \: {m}^{n} \: }$

Desta forma:

$\tt \: {2}^{x} \cdot{2}^{ - 1} + {2}^{x} + {2}^{x} \cdot {2}^{1} - {2}^{x} \cdot {2}^{2} + {2}^{x} \cdot {2}^{3} = 120$

Colocando a potência de x em evidência:

$\tt \: {2}^{x} ( {2}^{ - 1} + 1 + 2 - {2}^{2} + {2}^{3} ) = 120 \\ \\ \tt \: {2}^{x} \left( \frac{1}{2} + 3 - 4 + 8 \right) = 120 \\ \\ \tt \: {2}^{x} \left( \frac{1}{2} +7 \right) = 120 \\ \\ \tt \: {2}^{x} \left( \frac{1}{2} + \frac{14}{2} \right) = 120 \\ \\ \tt \: {2}^{x} \left( \frac{15}{2} \right) = 120 \\ \\ \tt \: {2}^{x} = \dfrac{120}{ \dfrac{15}{2} } \\ \\ \tt \: {2}^{x} = 120 \cdot \dfrac{2}{15} \\ \\ \tt \: {2}^{x} = \dfrac{240}{15} \\ \\ \tt \: {2}^{x} = 16 \\ \\ \tt \: {2}^{x} = {2}^{4} \\ \\ \tt \: { \cancel{2}}^{x} = { \cancel{2}}^{4} \\ \\ \tt \: x = 4$

Resposta: x = 4.