Question

Resolva a multiplicação de raízes com índices diferentes:
$\sqrt[3]{16\sqrt{8} } \times \sqrt[9]{0,125}$

Answer 1

Após realizar os cálculos necessários, encontramos que o resultado da multiplicação é igual a 2√2.

Propriedades da potenciação

Há propriedades da radiciação relevantes para a resolução do exercício;

• Índice de raiz e expoente do radicando iguais (I)

$\large\displaystyle\text{ \mathsf{\sqrt[2]{4^{2}} \rightarrow \sqrt[\backslash\!\!\!2]{4^{\backslash\!\!\!2}}\rightarrow4} }$

• Produto de raízes de mesmo índice (II)

$\large\displaystyle\text{ \mathsf{\sqrt[3]{3}~.~\sqrt[3]{9} \rightarrow \sqrt[3]{3.9} \rightarrow\sqrt[3]{27} \rightarrow 3} }$

• Raiz de outra raiz (III)

$\large\displaystyle\text{ \mathsf{\sqrt[2]{\sqrt[3]{2} } \rightarrow \sqrt[2 . 3]{2} \rightarrow \sqrt[6]{2}} }$

• Simplificação de raízes (IV)

$\large\displaystyle\text{ \mathsf{\sqrt[9]{2^{6}} \rightarrow \sqrt[\backslash\!\!\!9]{2^{\backslash\!\!\!6}} \rightarrow \sqrt[3]{2^{2}}} }$

Resolução do exercício

Para podemos multiplicar as raízes, o índice delas deve ser o mesmo. Com a propriedade III, podemos transformar a segunda raiz em uma de índice 3 da seguinte forma:

$\large\displaystyle\text{ \mathsf{\sqrt[3]{16\sqrt{8}} ~.~ \sqrt[\blue{9}]{0,125}} } \\\\\\\large\displaystyle\text{ \mathsf{\sqrt[3]{16\sqrt{8}}~.~ \sqrt[\blue{3.3}]{0,125}} }\\\\\\\large\displaystyle\text{ \mathsf{\sqrt[3]{16\sqrt{8}}~.~\sqrt[\blue{3}]{\sqrt[\blue{3}]{0,125} }} }$

Veja que é possível transformar o 0,125 em sua forma fracionária:

$\large\displaystyle\text{ \mathsf{\sqrt[3]{16\sqrt{8}}~.~\sqrt[3]{\sqrt[3]{\purple{0,125}} }} }\\\\\sqrt[3]{16\sqrt{8}}~.~\sqrt[3]{\sqrt[3]{\purple{\dfrac{125}{1000}}}}$

Resolvendo a raiz:

$\large\displaystyle\text{ \mathsf{\sqrt[3]{16\sqrt{8}}~.~\sqrt[3]{\orange{\sqrt[3]{\dfrac{125}{1000}}}}} }\\\\\large\displaystyle\text{ \mathsf{\sqrt[3]{16\sqrt{8}}~.~\sqrt[3]{\orange{\dfrac{5}{10}}}} }$

Como agora as raízes possuem mesmo índice, devemos multiplicar de acordo com a propriedade II:

$\large\displaystyle\text{ \mathsf{\sqrt[3]{16\sqrt{8}}~.~\sqrt[3]{\dfrac{5}{10}}} }\\\\\\\large\displaystyle\text{ \mathsf{\sqrt[3]{16\sqrt{8}~.~\dfrac{5}{10}} } }\\\\\\\large\displaystyle\text{ \mathsf{\sqrt[3]{\sqrt{8}~.~\dfrac{80}{10}}} }\\\\\\\large\displaystyle\text{ \mathsf{\sqrt[3]{\sqrt{8}~.~8}} }\\\\\sqrt[3]{\sqrt{8}}~.~\sqrt[3]{8} \\\\\sqrt[6]{8}~.~2$

A partir da propriedade IV, podemos simplificar a raiz:

$\large\displaystyle\text{ \mathsf{\sqrt[6]{\red{8}}~.~2~~\rightarrow~\red{8 = 2^{3}}} } \\\\\large\displaystyle\text{ \mathsf{\sqrt[\red{\backslash\!\!\!6}]{2^{\red{\backslash\!\!\!3}}}~.~2} }\\\\\large\displaystyle\text{ \mathsf{\sqrt{2}~.~2} }\\\\\boxed{\boxed{\large\displaystyle\text{ \mathsf{2\sqrt{2}} }}}$

Por fim, encontramos que o resultado da multiplicação é 2√2.

⭐ Espero ter ajudado! ⭐

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Answer 2

Resposta:

$\textsf{Leia abaixo}$

Explicação passo a passo:

$\sf \sqrt[\sf 3]{\sf 16\sqrt{8}} \times \sqrt[\sf 9]{\sf 0,125}$

$\sf \sqrt[\sf 3]{\sqrt{\sf 16^2\:.\:8}} \times \sqrt[\sf 9]{\sf 1/8}$

$\sf \sqrt[\sf 6]{\sf 2^{11}} \times \sqrt[\sf 9]{\sf 2^{-3}}$

$\sf 2^{\frac{11}{6}} \times 2^{-\frac{1}{3}}$

$\sf 2^{\frac{3}{2}}$

$\sqrt{\sf 2^2\:.\:2}$

$\boxed{\boxed{\sf 2\sqrt{\sf2}}}$