Question

Resolva:

A) Log 2 (x-3) + log 2(x-2)<1

 

B)Log 1/3 - log 1/9 (2-3x)<0

 

 

Answer 1

Olá, AgenteRJ.

 

$<var>A)\ \log_2 (x-3) + \log_2(x-2)<1 \Rightarrow \log_2[(x-3)(x-2)]<1 \Rightarrow\\\\ 1> \log_2[(x-3)(x-2)] \Rightarrow \\\\ 2^1>(x-3)(x-2) \Rightarrow x^2-2x-3x+6<2 \Rightarrow\\\\ x^2-5x+4<0\\\\ \text{\underline{Ra\'izes do polin\^onomio}: }x=\frac{5\pm\sqrt{25-16}}{2}=\frac{5\pm3}{2}=4\text{ ou }1 \Rightarrow\\\\ (x-4)(x-1)<0</var>$

 

$<var>\text{\underline{An\'alise do sinal}: }\\\\ ..(-)..1....(+).....|...(+)...\ \ (x-1)\\ ..(-)...|....(-).....4..(+)...\ \ (x-4)\\ ..(+)..1....(-).....4..(+)...\ \ (x-1)(x-4)</var>$

 

Portanto, a desigualdade é satisfeita quando:

 

$(x-4)(x-1)<0\Rightarrow<var>1<x<4$

 

Vamos verificar, agora, para quais valores de x não existe o logaritmo da inequação:

 

$<var>\begin{cases} x-3\leq0 \Rightarrow x\leq3 \\\\ x-2\leq0 \Rightarrow x\leq2 \end{cases}</var>$

 

O intervalo  $x\leq2$  está contido no intervalo  $x\leq3$.

 

Portanto, a solução da inequação é:

 

$\boxed{S=\{x \in \mathbb{R}|3<x<4\}}</var>$

 

 

$<var>B)\ \log \frac13 - \log \frac19 (2-3x)<0 \Rightarrow 0>\log\frac{\frac13}{ \frac19 (2-3x)} \Rightarrow\\\\ 0>\log\frac{3}{(2-3x)} \Rightarrow \underbrace{10^0}_{=1}>\frac3{2-3x} \Rightarrow 2-3x > 3 \Rightarrow \underbrace{-3x > 1}_{\times(-1)} \Rightarrow\\\\ 3x<-1 \Rightarrow x<-\frac13</var>$

 

Vamos verificar, agora, para quais valores de x não existe o logaritmo da inequação:

 

$<var>2-3x\leq0\Rightarrow\underbrace{-3x\leq-2}_{\times(-1)}\Rightarrow3x\geq2\Rightarrow x\geq\frac23</var>$

 

Este intervalo não está contido no intervalo de valores de x que satisfazem a inequação.

 

Portanto, a solução da inequação é:

 

$<var>\boxed{S=\left\{x \in \mathbb{R}|x<-\frac13\right\}}</var>$