Question

Resolva a integral tripla abaixo:

(lembrando que pode ser o mais resumido possivel)

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{\dfrac{19}{10}~~\checkmark}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta integral tripla, devemos nos relembrar de algumas técnicas e propriedades.

Seja a integral tripla:

$\displaystyle{\int_{-2}^1\int_0^x\int_0^y x^2z^4\,dz\,dy\,dx$

Veja que a integral já tem seus limites definidos, logo utilizamos a ordem de integração sugerida.

A primeira integral está definida para a variável $z$, logo consideramos $x^2$ como constante e utilizamos a regra da potência:

$\displaystyle{\int_{-2}^1\int_0^xx^2\cdot\dfrac{z^5}{5}\biggr|_0^y\,dy\,dx$

De acordo com o Teorema fundamental do Cálculo, aplique os limites de integração

$\displaystyle{\int_{-2}^1\int_0^xx^2\cdot\left(\dfrac{y^5}{5}-\dfrac{0^5}{5}\right)\,dy\,dx$

Calcule as potências e multiplique os valores

$\displaystyle{\int_{-2}^1\int_0^xx^2\cdot\dfrac{y^5}{5}\,dy\,dx$

Esta integral está definida para a variável $y$. Pela propriedade da multiplicação de frações, tratamos $\dfrac{x^2}{5}$ como constante e integramos:

$\displaystyle{\int_{-2}^1\dfrac{x^2}{5}\cdot\dfrac{y^6}{6}~\biggr|_0^x\,\,dx$

Aplique os limites de integração

$\displaystyle{\int_{-2}^1\dfrac{x^2}{5}\cdot\left(\dfrac{x^6}{6}-\dfrac{0^6}{6}\right)\,dx$

Calcule as potências e multiplique os valores

$\displaystyle{\int_{-2}^1\dfrac{x^8}{30}\,dx$

Por fim, consideramos a fração $\dfrac{1}{30}$ como constante e integramos:

$\displaystyle{\dfrac{1}{30}\cdot\dfrac{x^9}{9}~\biggr|_{-2}^1$

Aplique os limites de integração

$\displaystyle{\dfrac{1}{30}\cdot\left(\dfrac{1^9}{9}-\dfrac{(-2)^9}{9}\right)$

Calcule as potências, some e multiplique os valores

$\dfrac{1}{30}\cdot\left(\dfrac{1}{9}+\dfrac{512}{9}\right)\\\\\\\\ \dfrac{1}{30}\cdot\dfrac{513}{9}\right)\\\\\\\\ \dfrac{513}{270}$

Simplifique a fração

$\dfrac{19}{10}$

Este é o resultado desta integral.