Question

Resolva a integral: (os gabaritos dão uma resposta negativa, mas quando eu faço da positivo)

Answer 1

Resposta:

∫(sen(x) / (2 + cos(x))) dx = - ln(2 + cos(x)) + C

Explicação passo-a-passo:

Essa questão envolve a aplicação direta dos conceitos de integral, não é uma questão contextualizada. Logo, teremos:

∫(sen(x) / (2 + cos(x))) dx

Como a função a ser integrada possui seno e cosseno, isso nos instiga a integrar por substituição, visto que seno é a integral de cosseno, e cosseno é a derivada de seno. Teremos:

u = 2 + cos(x)

du/dx = (2 + cos(x))' = -sen(x)

Veja que na função temos sen(x), e du/dx é igual a -sen(x). Manipulando algebricamente, obtemos:

sen(x) = -du/dx

Substituíndo sen(x) por -du/dx e substituíndo 2 + cos(x) por u, teremos:

∫( (-du/dx) / u) dx

∫(-du / udx) dx

∫(-dudx / udx)

∫(-du / u)

- du é equivalente a -1 * du. Como -1 é uma constante, podemos retirar da integral. Teremos:

-∫(du / u)

-∫(1 / u) du

Com isso, temos uma integral comum. Sendo assim:

- ln |u| + C

Que é - logaritmo natural do módulo de u acrescido de uma constante. Por fim, precisamos desfazer a substituição que fizemos:

- ln |2 + cos(x)| + C

Como 2 + cos(x) tem um resultado no intervalo de 1 a 3, ou seja, sempre positivo, podemos remover o módulo.

∫(sen(x) / (2 + cos(x))) dx = - ln(2 + cos(x)) + C