Question

resolva a integral indefinida, só tem UMA
∫$\frac{x^3+x+1}{x^2-4x+3}$

Answer 1

Resposta:

x³+x+1     |  x²-4x+3

               |   x +4

-x³+4x²-3x

=4x²-2x+1

-4x²+16x-12

=+14x-11

x³+x+1   =(x+4) * (x²-4x+3) +14x-11

_____________________________________

∫ (x³+x+1)/(x²-4x+3) dx

∫ [(x+4) * (x²-4x+3) +14x-11] (x²-4x+3) dx

∫ (x+4)+( 14x-11)/(x²-4x+3) dx

x²/2+4x  +  ∫( 14x-11)/(x²-4x+3) dx

_______________________________

∫( 14x-11)/(x²-4x+3) dx

∫( 14x-11 -17 + 17)/(x²-4x+3) dx

∫( 14x-28 + 17)/(x²-4x+3) dx

∫( 14x-28)/(x²-4x+3)  dx  + 17/(x²-4x+3)  dx

∫( 14x-28)/(x²-4x+3) dx   + 17/(x-1)(x-3)  dx

∫ 7( 2x-4)/(x²-4x+3)  dx +∫  17/(x-1)(x-3)  dx

7*∫ ( 2x-4)/(x²-4x+3) dx   + 17∫  1/(x-1)(x-3)  dx

∫ ( 2x-4)/(x²-4x+3) dx

u=x²-4x  ==>du =(2x-4 ) dx

∫ ( 2x-4)/u du/(2x-4)

∫1/u du =ln (|u|

como u =x²-4x

∫ ( 2x-4)/(x²-4x+3) dx =ln|x²-4x|  <<<<<<<<

∫  1/(x-1)(x-3)  dx

1/(x-1)(x-3)  = A/(x-1)+B/(x-3)

1= A*(x-3)+B*(x-1)

1=x*(A+B) -3A-B

A+B=0   ==>A=-B

-3A-B=1      ==>-3A+A=1  ==>  A=-1/2

∫  1/(x-1)(x-3)  dx  = -1/2∫ 1/(x-1) dx+1/2∫ 1/(x-3) dx

=(-1/2)*ln |x-1| +(1/2)* ln|x-3|   <<<<<<<<<<<<<<<<

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∫ (x³+x+1)/(x²-4x+3) dx

= x²/2+4x  +ln|x²-4x| -(1/2)*ln |x-1| +(1/2)* ln|x-3|  + c