Question

Resolva a integral dupla $\int\limits^ \pi _ \frac{ \pi }{2} { \int\limits^1_0 {ysen(xy)} \, dx } \, dy$

Answer 1

Oi Beverly :)

Veja a resposta da integral dupla: 


$\int\limits^ \pi _ \frac{ \pi }{2} \int\limits^ 1 _ 0 {ysen(xy)} \, dx dy \\ \\ Resolvendo \ dx$

$\int\limits^ 1 _ 0 {ysen(xy)} \, dx \\ \\ u=xy \ \ e\ \ \boxed{dx= \frac{du}{y} }\\ \\ u=0.y=0 \\ u=1.y=y \\ \\fazendo \ as \ substituicoes \\ \\ y\int\limits^ y _ 0 {sen(u)} \, \frac{du}{y} \\ \\ \int\limits^ y _ 0 {sen(u)} \, du \\ \\ -cos(u) \ |^y_0 \\ \\ -(cos(y)-cos(0)) \\ \\ \boxed{-cos(y)+1}$

Resolvendo (colocando esse resultado encontrado)  em relação a dy:

$\int\limits^ \pi _ \frac{ \pi }{2} {(-cos(y)+1)} \, dy \\ \\ -sen(y)+y \ |^ \pi_{ \frac{x}{2} } \\ \\ (-sen( \pi )+ \pi )-(-sen( \frac{ \pi }{2} )+ \frac{ \pi }{2}) \\ \\ (0+ \pi) -(-1+ \frac{ \pi }{2}) \\ \\ \pi +1- \frac{ \pi }{2} \\ \\ \boxed{ 1+ \frac{ \pi }{2} } \ ou \ \boxed{ \frac{2+ \pi }{2}} \ \ ou \ \ \boxed{2,57 \ aprox}$

Espero que goste. Comenta depois :)