Question

Resolva a integral definida.
$\sf \int ^{2}_{0} - x {}^{2} + 4x - 3 \: dx$
Para vocês :)

Gabarito:$\boxed{\boxed{\boxed{ \sf - \dfrac{2}{3} }}}$

​

Answer 1

$\int\limits^2_0 {-x^{2} +4x-3} \, dx$

$\int\limits- {x^{2} +4x-3} \, dx$

$\int\limits {-x^{2} } \, dx +\int\limits {4x} \, dx +\int\limits {-3} \, dx$

$-\int\limits {x^{2} } \, dx +4\int\limits {x} \, dx +\int\limits {-3} \, dx$

$Como \int\limits {x^{k} } \, dx + \frac{x^{k+1} }{k+1}, para k ≠-1, substitua \int\limits {x^{2} } \, dx, por, \frac{x^{3} }{3} . Multiplique -1 vezes \frac{x^3}{3}$

$-\frac{x^3}{3} +4\int\limits {x} \, dx +\int\limits {-3} \, dx$

$Multiplique, 4 ,vezes, \frac{x^{2} }{2}$

$-\frac{x^3}{3} +2x^{2} +\int\limits {-3} \, dx$

$-\frac{x^3}{3} +2x^{2} -3x$

$-\frac{2^{3} }{3} +2.2^{2} -3.2-(-\frac{0^{3} }{3} +2.0^{2} -3.0)$

$-\frac{2}{3}$

Answer 2

Como já gabaritado, Calculando essa integral temos como Resposta:

$\huge\boxed{ \boxed{ \sf- \dfrac{2}{3}}}$

• Temos a Seguinte Integral Definida:

$\large\sf \int ^{2}_{0} - x {}^{2} + 4x - 3 \: dx$

• O que é uma Integral Definida?

É a área da Região sobre o gráfico de qualquer Função. Ela segue a Ideia Integral Indefinida, só que com mais algumas regras

Cálculo da integral

Primeiramente vamos resolver:

$\large\sf \int- x {}^{2} + 4x - 3 \: dx$

Temos Operações dentro dessa integral, Com isso aplicamos a propriedade das integrais:

• Soma de uma Integral = Soma das integrais

• Diferença da Integral = Diferenças das integrais

Vamos ter:

$\large\sf \int- {x}^{2} dx \: + \int 4x \: dx \int- 3 \: dx$

Uma Integral não se aplica a Contantes, ou seja, não Se calcula números reais, pois ela só está em Relação a x, aplicamos a propriedade em que a Contantes fica fora da Integral Multiplicando

$\large\sf \int \: kx \: dx =k \int \: x \: dx \\ \\ \large\sf \int- {x}^{2} dx \: + 4\int x \: dx - 3 \int \: dx$

Aplicando a Regra da integração de Potências:

$\large \sf \dfrac{ {x}^{n + 1} }{n + 1} + c \\ \\ \large \sf \dfrac{ {x}^{2 + 1} }{2 + 1} = - \dfrac{ {x}^{3} }{3} \\ \\ \large \sf \frac{ {4x}^{1 + 1} }{1 + 1} \Rightarrow \dfrac{ {4x}^{2} }{2} = {2x}^{2} \\ \\ \large \sf \: = - 3x$

• Temos:

$\large \boxed{ \boxed{ \sf \frac{- {x}^{3} }{3} + {2x}^{2} - 3x + c}}$

Como estamos falando de uma Integral Definida, vamos cancelar essa Constante, pois na Integral Definida não tem constante

$~$

A Integral está no intervalo de 0 a 2, Vamos pegar o valor que achamos da Integral e Substituir por 0 e 2, Subtraindo os resultados

$\sf \bigg( - \dfrac{ {x}^{3} }{3} + {2x}^{2} - 3x \bigg) - \sf \bigg( - \dfrac{ {x}^{3} }{3} + {2x}^{2} - 3x \bigg) \\ \\ \sf -\bigg( - \dfrac{ {0}^{3} }{3} + {2 \cdot0}^{2} - 3 \cdot0 \bigg) + \sf \bigg( - \dfrac{ {2}^{3} }{3} + {2 \cdot2}^{2} - 3 \cdot2 \bigg) \\ \\ \sf 0 + \sf \bigg( - \dfrac{ 8}{3} + 8 - 6 \bigg) \\ \\ \large \sf = - \dfrac{2}{3}$

➡️ Resposta:

$\huge\boxed{ \boxed{ \sf- \dfrac{2}{3}}}$

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