Question

Resolva a integral ∫6x√3x^2+4dx

Answer 1

Utilizando o conceito de integração por partes, coloquei um dos termos em uma variável mais fácil de trabalhar(varável u), e depois a voltei em sua forma original, achando o resultado. Observe a resolução:

Dado:
$\int\limits 6x \sqrt{3x^2+4} \, dx$

Tirando a constante:
$6\int\limits x \sqrt{3x^2+4} \, dx$

Fazendo u=3x²+4, temos que du=6x.dx
Porém, se du=6x.dx, temos que x.dx = du/6, então:
$6\int\limits x \sqrt{u} \, dx \\ \\6\int\limits \sqrt{u} \, \frac{du}{6} \\ \\ \frac{6}{6} \int\limits \sqrt{u} \, du$

Fazendo pela definição de variável o resultado obtido de raiz de u, aumentamos o expoente uma unidade, e o dividimos pelo mesmo resultado:
$\int\limits \sqrt{u} \, du \\ \\\int\limits u^{1/2} \, du = \frac{u^{ \frac{1}{2}+ 1}}{{ \frac{1}{2}+ 1}} = \frac{u^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3} u^{3/2}$

Achando o resultado parcial, voltamos a transformação original de 'u'
$\frac{2}{3} u^{3/2} = \frac{2}{3} (3x^2+4)^{3/2}$

Portanto:
$\int\limits {6x \sqrt{3x^2+4} } \, dx = \frac{2}{3} (3x^2+4)^{3/2}+C$

Ik_Lob
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