Question

Resolva a inequação senx.cosx<0 para x pertence [0,2pi]

Answer 1

Resolver a inequação trigonométrica:

$\mathsf{sen\,x\cdot cos\,x<0}$

Multiplique ambos os lados por 2, e aplique a identidade do seno do arco duplo:

$\mathsf{2\cdot sen\,x\cdot cos\,x<0}\\\\ \mathsf{sen\,2x<0}$

O seno é negativo para arcos dos quadrantes 3º e 4º. Logo, devemos ter

$\mathsf{\pi+k2\pi<2x\le \dfrac{3\pi}{2}+k2\pi\quad ou\quad \dfrac{3\pi}{2}+k2\pi<2x<2\pi+k2\pi}\\\\\\ \mathsf{\pi+k2\pi<2x<2\pi+k2\pi}\\\\\\ \mathsf{(2k+1)\pi<2x<(2k+2)\pi}\\\\\\ \mathsf{(2k+1)\dfrac{\pi}{2}<x<(2k+2)\dfrac{\pi}{2}}\\\\\\ \mathsf{(2k+1)\dfrac{\pi}{2}<x<\diagup\!\!\!\! 2(k+1)\dfrac{\pi}{\diagup\!\!\!\! 2}}\\\\\\ \mathsf{(2k+1)\dfrac{\pi}{2}<x<(k+1)\pi}$

onde k é inteiro.

Como queremos x no intervalo [0, 2π], só nos interessa os arcos obtidos para

k = 0 ou k = 1:

$\mathsf{\dfrac{\pi}{2}<x<\pi\quad ou\quad \dfrac{3\pi}{2}<x<2\pi\quad\longleftarrow\quad resposta.}$

_____

Outro caminho para resolver a equação

$\mathsf{sen\,x\cdot cos\,x<0}$

é pensar em quais quadrantes os sinais do seno e do cosseno são opostos, para que o produto seja negativo. Isso só acontece nos quadrantes 2º e 4º, que justamente nos fornece

$\mathsf{\dfrac{\pi}{2}<x<\pi\quad ou\quad \dfrac{3\pi}{2}<x<2\pi\quad\longleftarrow\quad novamente~a~resposta.}$

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Bons estudos! :-)