Matemática, perguntado por gabriellucasdh, 10 meses atrás

resolva a inequação raiz(x-1) < 3-x


Lukyo: Só uma observação. Devemos sempre ter bastante cuidado com o passo de "elevar ambos os lados ao quadrado" em desigualdades.
Aqui nessa tarefa, isso só funcionou porque os termos envolvidos nessa desigualdade nunca são negativos. Em outros casos, não há garantia de que isso vai funcionar, então cuidado.
Lukyo: Um exemplo clássico é

x < - 1

ao elevarmos ambos os lados ao quadrados, vamos obter

x² < 1

o que obviamente contradiz a sentença inicial, já que nenhum número menor que -1, quando elevado ao quadrado se torna menor que 1.
Lukyo: O mesmo problema aconteceria se você tentar resolver a inequação no sentido oposto:

3 - x < raiz(x-1)

elevar os dois lados ao quadrado diretamente não vai funcionar.
gabriellucasdh: análise perfeita
joao246361: Boa observação.

Soluções para a tarefa

Respondido por marcelo7197
1

Inequação irracional :

Dada a inequação :

\mathsf{\sqrt{x-1}~&lt;~3-x } \\

Perceba que temos um radical , por tanto antes de nada , vamos determinar o domínio :

\mathsf{\sqrt{x-1} ≥ 0 } \\

\mathsf{x-1 ≥ 0 } \\

\mathsf{x ≥ 1 } \\

\mathsf{D_{min1}}~=~\{ \mathsf{x}~\in~\mathbb{R}~/~\mathsf{x}≥1 \} \\

\mathsf{3-x≥0 } \\

\mathsf{3≥x } \\

\mathsf{x≤3 } \\

\matsf{D_{min2}}~=~\{\mathsf{x} \in \mathbb{R} / \mathsf{x  ≤  3} \} \\

\mathsf{D_{f}~=~\mathsf{D_{min1}} \cap \mathsf{D_{min2}} } \\

 \mathsf{D_{f}}~=~]1~;~+\infty[\cap]-\infty~;~3] \\

\mathsf{D_{f}}~=~\mathsf{x}\in]1~;~3] \\

Agora vamos elevar ambos membros ao quadrado :

\mathsf{\Big(\sqrt{x-1} \Big)^2 &lt; \Big( 3-x \Big)^2 } \\

\mathsf{x-1~ &lt; ~ 9-6x+x^2 } \\

\mathsf{x^2-6x-x+9+1 &gt; 0 } \\

\mathsf{\red{x^2-7x+10 &gt; 0} } \\

Vamos transformar a inequação em equação para achar as suas raízes :

\mathsf{\blue{x^2-7x+10=0}} \\

Fatorando a expressão vamos ter :

\mathsf{(x-2)(x-5)~=~0 } \\

\mathsf{x~=~}\begin{cases} \mathsf{x-2~=~0 } \\ \\ \mathsf{x-5~=~0} \end{cases} \\

\mathsf{x=}\begin{cases} \mathsf{\red{x_{1}~=~2}} \\ \\ \mathsf{\red{x_{2}~=~5}} \end{cases}

\mathsf{Sol_{1}:}\mathsf{x}\in~]-\infty~;~2[\mathsf{U}]5~;~+\infty [ \\

Perceba que a Solução tota vai ser a intersecção da Solução1 com o domínio :

\mathsf{Sol_{total}~=~Sol_{1}\cap D_{f} } \\

\mathsf{Sol_{total}}~=~]-\infty~;~2[\mathsf{U}]5~;~+\infty[\cap[1~;~3] \\

\mathsf{Sol_{total}}: \mathsf{x}\in[1~;~2[\\

Espero ter ajudado bastante!)


joao246361: Boa tarde, acho que há um pequeno erro em sua resolução. Se considerarmos que como √(f(x) < g(x) teremos que g(x) ≥0, com isso x ≤ 3 e para f(x): x ≥ 1. Acho que deveria a intersecção com os valores de x pertencentes a esse intervalo.
joao246361: Me perdoe se estiver errado
Respondido por joao246361
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Resposta:

x∈ [1;2[

Explicação passo-a-passo:

     Primeiro iremos restringir os valores dos domínios: Sendo f(x)= x-1 e g(x)= 3-x.

\sqrt{f(x)} &lt; g(x)\\g(x) \geq 0\\3-x\geq 0\\x\leq 3\\\\f(x)\geq 0\\x-1\geq 0\\x\geq 1

     Com isso temos que x ∈ [1;3]

   - Resolvendo a inequação.

\sqrt{x-1} &lt; 3-x \\(\sqrt{x-1} )^2&lt; (3-x)^2\\x-1 &lt; 9 -6x +x^2\\\\x^2 -7x +10 &gt; 0

   - Encontrando as raízes

x' + x" = 7

x'.x"= 10

x'=2 e x"=5  ∴  x'<2 e x">5

    Agora devemos achar a intersecção dos possíveis valores para x:

(x∈[1;3]) ∩ (x∈]-∞; 2[ ∪ ]5; +∞[)

x∈ [1;2[

Espero ter lhe ajudado.

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