Question

Resolva a inequação-produto
(x^2-x-2) . (-x^2+2x+3) < ou = 0

Answer 1

$( {x}^{2} - x - 2)( - {x}^{2} + 2x + 3) \leqslant 0$

Podemos considerar que há um produto entre duas funções, que chamaremos de f e g.

$f(x) = {x}^{2} - x - 2 \\ g(x) = - {x}^{2} + 2x + 3$

Encontrando as raízes das funções, temos:

Raízes de f(x):

$f(x) = 0 \\ {x}^{2} - x - 2 = 0 \\ delta = {b}^{2} - 4ac \\ delta = {( - 1)}^{2} - 4 \times 1 \times ( - 2) \\ delta = 1 + 8 \\ delta = 9 \\ \\ x = \frac{ - b + - \sqrt{delta} }{2a} \\ x = \frac{ - ( - 1) + - \sqrt{9} }{2 \times 1} \\ x = \frac{1 + - 3}{2} \\ x1 = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2 \\ x2 = \frac{1 - 3}{2} = - \frac{2}{2} = - 1$

Raízes de g(x):

$g(x) = 0 \\ - {x}^{2} + 2x + 3 = 0 \\ delta = {b}^{2} - 4ac \\ delta = {2}^{2} - 4 \times ( - 1) \times 3 \\ delta = 4 + 12 \\ delta = 16 \\ \\ x = \frac{ - b + - \sqrt{delta} }{2a} \\ x = \frac{ - 2 + - \sqrt{16} }{2 \times ( - 1)} \\ x = \frac{ - 2 + - 4}{ - 2} \\ x1 = \frac{ - 2 + 4}{ - 2} = \frac{2}{ - 2} = - 1 \\ x2 = \frac{ - 2 - 4}{ - 2} = \frac{ - 6}{ - 2} = 3$

Interpretando os gráficos das funções, temos:

Gráfico da função f(x):

Parábola com concavidade para cima, com raízes -1 e 2.

f(x) é positiva quando x < -1 ou x > 2;

f(x) é negativa quando -1 < x < 2.

Gráfico da função g(x):

Parábola com concavidade para baixo, com raízes -1 e 3.

g(x) é positiva quando -1 < x < 3;

g(x) é negativa quando x < -1 ou x > 3.

Quadro de sinais:

Raízes das funções em ordem crescente:

-1 2 3

f(x) | + | - | + | + |

g(x)| - | + | + | - |

f.g | - | - | + | - |

Como o produto entre as funções é menor ou igual a zero, os trechos onde isso acontece são:

$x \leqslant 2 \: \: ou \: \: x \geqslant 3$