Question

Resolva a inequação modular: $\frac{1}{|x + 1| . |x - 3|}\geq \frac{1}{5}$

Answer 1

Resposta:

    $S=\{x\in\mathbb{R}:~-2\le x < -1\mathrm{~~ou~~}-1 < x < 3~\mathrm{~~ou~~}3 < x\le 4\}$

ou em notação de intervalos,

    $S=[-2,\,-1)\,\cup\,(-1,\,3)\,\cup\,(3,\,4].$

Explicação passo a passo:

Resolver a inequação modular

    $\dfrac{1}{|x+1|\cdot |x-3|}\ge \dfrac{1}{5}\qquad\mathrm{(i)}$

• Condição de existência da solução: O denominador não pode se anular:

    $|x+1|\cdot |x-3|\ne 0\\\\\Longleftrightarrow\quad |x+1|\ne 0\quad\mathrm{e}\quad |x-3|\ne 0\\\\\Longleftrightarrow\quad x+1\ne 0\quad\mathrm{e}\quad x-3\ne 0\\\\\Longleftrightarrow\quad x\ne -1\quad\mathrm{e}\quad x\ne 3\qquad\mathrm{(ii)}$

• Resolvendo a inequação:

Isole todos os termos no mesmo lado da desigualdade:

    $\Longleftrightarrow\quad\dfrac{1}{|x+1|\cdot |x-3|}-\dfrac{1}{5}\ge 0$

Reduza as frações a um mesmo denominador comum:

    $\Longleftrightarrow\quad\dfrac{5}{5\cdot |x+1|\cdot |x-3|}-\dfrac{|x+1|\cdot |x-3|}{5\cdot |x+1|\cdot |x-3|}\ge 0\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad\dfrac{5-|x+1|\cdot |x-3|}{5\cdot |x+1|\cdot |x-3|}\ge 0\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad\dfrac{N(x)}{D(x)}\ge 0 \qquad\mathrm{(iii)}$

com $N(x)=5-|x+1|\cdot |x-3|$ e $D(x)=5\cdot |x+1|\cdot |x-3|.$

O denominador $D(x)$ é um produto de três fatores positivos, dadas as condições de existência (ii). Logo,

    $\Longrightarrow\quad D(x) > 0,\qquad\mathrm{para~todo~}x\in\mathbb{R}\backslash\{-1,\,3\}\qquad\mathrm{(iv)}$

Portanto, para que o quociente seja maior ou igual que zero, devemos ter

    $\Longrightarrow\quad N(x)\ge 0\\\\ \Longleftrightarrow\quad 5-|x+1|\cdot |x-3|\ge 0$

Nos reais, o produto dos módulos é igual ao módulo do produto. Logo, a inequação acima fica

    $\Longleftrightarrow\quad 5-|(x+1)\cdot (x-3)|\ge 0\\\\ \Longleftrightarrow\quad 5-|x^2-3x+x-3|\ge 0\\\\ \Longleftrightarrow\quad 5-|x^2-2x-3|\ge 0\\\\ \Longleftrightarrow\quad |x^2-2x-3|\le 5\qquad\mathrm{(v)}$

O módulo é menor ou igual que 5 para todos os números entre -5 e 5, inclusive:

    $\Longleftrightarrow\quad -5\le x^2-2x-3\le 5\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad \begin{cases}~-5\le x^2-2x-3\\ ~x^2-2x-3\le 5 \end{cases}\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad \begin{cases}~0\le x^2-2x-3+5\\ ~x^2-2x-3-5\le 0 \end{cases}\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad \begin{cases}~x^2-2x+2\ge 0\qquad\mathrm{(vi)}\\ ~x^2-2x-8\le 0\qquad\mathrm{(vii)} \end{cases}$

• Resolvendo (vi):

Calculando o discriminante $\Delta$ do polinômio do 2º grau, temos

    $P(x)=x^2-2x+2\quad\Longrightarrow\quad a=1,~~b=-2,~~c=2\\\\\\\Longrightarrow\quad\Delta=b^2-4ac\\\\\Longleftrightarrow\quad\Delta=(-2)^2-4\cdot 1\cdot 2\\\\ \Longleftrightarrow\quad\Delta=4-8=-4 < 0$

Como o $\Delta$ é negativo, então $P(x)$ não possui raízes reais. Isto significa que o gráfico de $P(x)$ é uma parábola que não intersecta o eixo $x.$

Como o coeficiente quadrático é $a=1>0,$ o gráfico de $P(x)$ está localizado acima do eixo $x,$ logo

    $\Longrightarrow\quad P(x) > 0\\\\ \Longrightarrow\quad P(x)\ge 0,\qquad \mathrm{para~todo~}x\in\mathbb{R}$

• Resolvendo (vii):

Vamos resolver usando completamento de quadrados:

    $x^2-2x-8\le 0\\\\ \Longleftrightarrow\quad x^2-2x\le 8$

Some 1 aos dois membros:

    $\Longleftrightarrow\quad x^2-2x+1\le 8+1\\\\ \Longleftrightarrow\quad (x-1)^2\le 9$

Temos uma desigualdade que envolve apenas termos não negativos. Logo, a desigualdade vale para as raízes quadradas dos membros:

    $\Longleftrightarrow\quad \sqrt{(x-1)^2}\le\sqrt{9}\\\\\Longleftrightarrow\quad |x-1|\le 3$

(Atenção: $\sqrt{a^2}=|a|,$ para todo $a\in\mathbb{R}.$)

O módulo é menor ou igual que 3 para todos os números entre -3 e 3, inclusive:

    $\Longleftrightarrow\quad -3\le x-1\le 3\\\\ \Longleftrightarrow\quad -3+1\le x-1+1\le 3+1\\\\ \Longleftrightarrow\quad -2\le x\le 4\qquad\checkmark$

ou em notação de intervalos $x\in[-2,\,4].$

Logo, o conjunto solução da inequação (i) é a interseção das soluções de (vi), (vii) e da condição de existência (ii):

    $S=\{x\in\mathbb{R}:~-2\le x < -1\mathrm{~~ou~~}-1 < x < 3~\mathrm{~~ou~~}3 < x\le 4\}$

ou em notação de intervalos,

    $S=[-2,\,-1)\,\cup\,(-1,\,3)\,\cup\,(3,\,4]\quad\longleftarrow\quad\mathsf{resposta.}$

Dúvidas? Comente.

Bons estudos! :-)